Exercice 1 — Probabilités conditionnelles et arbres, Variables aléatoires et sommes

Une entreprise de location de bateaux de tourisme propose à ses clients deux types de bateaux : bateau à voile et bateau à moteur.

Par ailleurs, un client peut prendre l'option PILOTE. Dans ce cas, le bateau, qu'il soit à voile ou à moteur, est loué avec un pilote.

On sait que:

• 60 % des clients choisissent un bateau à voile; parmi eux, 20 % prennent l'option PILOTE.
• 42 % des clients prennent l'option PILOTE.

On choisit au hasard un client et on considère les évènements :

• $V$: « le client choisit un bateau à voile » ;
• $L$: « le client prend l'option PILOTE ».

Les trois parties peuvent être traitées de manière indépendante

Partie A

• 1. Traduire la situation par un arbre pondéré que l'on complètera au fur et à mesure.

• 2. Calculer la probabilité que le client choisisse un bateau à voile et qu'il ne prenne pas l'option PILOTE.

• 3. Démontrer que la probabilité que le client choisisse un bateau à moteur et qu'il prenne l'option PILOTE est égale à $0,30$.

• 4. En déduire $P_{\overline{V}}(L)$, probabilité de $L$ sachant que $V$ n'est pas réalisé.

• 5. Un client a pris l'option PILOTE.

  Quelle est la probabilité qu'il ait choisi un bateau à voile ? Arrondir à $0,01$ près.

Partie B

Lorsqu'un client ne prend pas l'option PILOTE, la probabilité que son bateau subisse une avarie est égale à $0,12$. Cette probabilité n'est que de $0,005$ si le client prend l'option PILOTE.

On considère un client. On note $A$ l'évènement: « son bateau subit une avarie ».

• 1. Déterminer $P(L \cap A)$ et $P\left(\overline{L} \cap A\right)$.

• 2. L'entreprise loue 1000 bateaux.

  À combien d'avaries peut-elle s'attendre ?

Partie C

On rappelle que la probabilité qu'un client donné prenne l'option PILOTE est égale à 0,42.

On considère un échantillon aléatoire de $40$ clients. On note $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de clients de l'échantillon prenant l'option PILOTE.

• 1. On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. Donner sans justification ses paramètres.
• 2. Calculer la probabilité, arrondie à $10^{-3}$, qu'au moins $1$5 clients prennent l'option PILOTE.