Exercice 2 — Probabilités conditionnelles et arbres, Loi binomiale

Commun à tous les candidats

Un test est mis au point pour détecter une maladie dans un pays.

Selon les autorités sanitaires de ce pays, 7 % des habitants sont infectés par cette maladie.

Parmi les individus infectés, 20 % sont déclarés négatifs.

Parmi les individus sains, 1 % sont déclarés positifs.

Une personne est choisie au hasard dans la population.

On note :

• $M$ l'évènement : « la personne est infectée par la maladie » ;

• $T$ l'évènement: « le test est positif ».

• 1. Construire un arbre pondéré modélisant la situation proposée.

• 2.

  • a) Quelle est la probabilité pour que la personne soit infectée par la maladie et que son test soit positif?

  • b) Montrer que la probabilité que son test soit positif est de 0,0653.

• 3. On sait que le test de la personne choisie est positif.

  Quelle est la probabilité qu'elle soit infectée ?

  On donnera le résultat sous forme approchée à $10^{-2}$ près.

• 4. On choisit dix personnes au hasard dans la population. La taille de la population de ce pays permet d'assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise.

  On note $X$ la variable aléatoire qui comptabilise le nombre d'individus ayant un test positif parmi les dix personnes.

  • a) Quelle est la loi de probabilité suivie par $X$ ? Préciser ses paramètres.

  • b) Déterminer la probabilité pour qu'exactement deux personnes aient un test positif.

    On donnera le résultat sous forme approchée à $10^{-2}$ près.

• 5. Déterminer le nombre minimum de personnes à tester dans ce pays pour que la probabilité qu'au moins une de ces personnes ait un test positif, soit supérieure à 99 %.