Exercice 5 — Logarithme népérien, Dérivation

Principaux domaines abordés: Fonction logarithme népérien, dérivation

Cet exercice est composé de deux parties.

Certains résultats de la première partie seront utilisés dans la deuxième.

Partie 1 : Étude d'une fonction auxiliaire

Soit la fonction $f$ définie sur l'intervalle [1 ; 4] par :

$f(x) = - 30x + 50 + 35\ln x.$

• 1. On rappelle que $f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$.

  • a) Pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [1 ; 4], montrer que:

    $f'(x) = \dfrac{35- 30x}{x}.$

  • b) Dresser le tableau de signe de $f'(x)$ sur l'intervalle [1 ; 4].

  • c) En déduire les variations de $f$ sur ce même intervalle.

• 2. Justifier que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution, notée $\alpha$, sur l'intervalle [1 ; 4] puis donner une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-3}$ près.

• 3. Dresser le tableau de signe de $f(x)$ pour $x \in [1 ; 4]$.

Partie 2 : Optimisation

Une entreprise vend du jus de fruits. Pour $x$ milliers de litres vendus, avec $x$ nombre réel de l'intervalle [1 ; 4], l'analyse des ventes conduit à modéliser le bénéfice $B(x)$ par l'expression donnée en milliers d'euros par :

$B(x) = - 15x^2 + 15x +35x \ln x.$

• 1. D'après le modèle, calculer le bénéfice réalisé par l'entreprise lorsqu'elle vend 2500 litres de jus de fruits.

  On donnera une valeur approchée à l'euro près de ce bénéfice.

• 2. Pour tout $x$ de l'intervalle [1 ; 4], montrer que $B'(x) = f(x)$ où $B'$ désigne la fonction dérivée de $B$.

• 3.

  • a) À l'aide des résultats de la partie 1, donner les variations de la fonction $B$ sur l'intervalle [1 ; 4].

  • b) En déduire la quantité de jus de fruits, au litre près, que l'entreprise doit vendre afin de réaliser un bénéfice maximal.