Exercice 3 — Vecteurs, droites et plans, Distances, projetés, aires et volumes

Commun à tous les candidats

Dans l'espace, on considère le cube ABCDEFGH d'arête de longueur égale à 1.

On munit l'espace du repère orthonormé $\left(\text{A} ; \overrightarrow{\text{AB}}, \overrightarrow{\text{AD}}, \overrightarrow{\text{AE}}\right)$.

On considère le point M tel que $\overrightarrow{\text{BM}} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{\text{BH}}$.

(Figure : voir le sujet PDF.)

(Figure : voir le sujet PDF.)

• 1. Par lecture graphique, donner les coordonnées des points B, D, E, G et H.

• 2.

  • a) Quelle est la nature du triangle EGD ? Justifier la réponse.

  • b) On admet que l'aire d'un triangle équilatéral de côté $c$ est égale à $\dfrac{\sqrt{3}}{4}c^2$.

    Montrer que l'aire du triangle EGD est égale à $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

• 3. Démontrer que les coordonnées de M sont $\left( \dfrac{2}{3} ; \dfrac{1}{3} ;  \dfrac{1}{3}\right)$.

• 4.

  • a) Justifier que le vecteur $\overrightarrow{n}(-1 ; 1 ; 1)$ est normal au plan (EGD).

  • b) En déduire qu'une équation cartésienne du plan (EGD) est: $- x + y + z - 1 = 0$.

  • c) Soit $\mathcal{D}$ la droite orthogonale au plan (EGD) et passant par le point M.

    Montrer qu'une représentation paramétrique de cette droite est:

    x&=&\dfrac{2}{3} - t \\

y&=&\dfrac{1}{3} + t \ z&=&\dfrac{1}{3} + t \end{array}\right., , t \in \mathbb{R}$$

• 5. Le cube ABCDEFGH est représenté ci-dessus selon une vue qui permet de mieux percevoir la pyramide GEDM, en gris sur la figure :

  (Figure : voir le sujet PDF.)

  (Figure : voir le sujet PDF.)

  Le but de cette question est de calculer le volume de la pyramide GEDM.

  • a) Soit K, le pied de la hauteur de la pyramide GEDM issue du point M.

    Démontrer que les coordonnées du point K sont $\left(\dfrac{1}{3} ; \dfrac{2}{3} ; \dfrac{2}{3}\right)$.

  • b) En déduire le volume de la pyramide GEDM.

    *On rappelle que le volume $V$ d'une pyramide est donné par la formule *

    $V = \dfrac{b \times h}{3}$ où $b$ désigne l'aire d'une base et $h$ la hauteur associée.

EXERCICE au choix du candidat 5 points

Le candidat doit traiter un seul des deux exercices A ou B.

Il indique sur sa copie l'exercice choisi: exercice A ou exercice B.

Pour éclairer son choix, les principaux domaines abordés par chaque exercice sont indiqués dans un encadré.