Exercice 1 — Suites et récurrence, Limites de suites

Commun à tous les candidats

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 10000$ et pour tout entier naturel $n$ :

$u_{n+1} = 0,95u_n + 200.$

• 1. Calculer $u_1$ et vérifier que $u_2 = 9415$.

• 2.

  • a) Démontrer, à l'aide d'un raisonnement par récurrence, que pour tout entier naturel $n$ :

    $u_n > 4000.$

  • b) On admet que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante. Justifier qu'elle converge.

• 3. Pour tout entier naturel $n$, on considère la suite $\left(v_n\right)$ définie par: $v_n = u_n - 4000$.

  • a) Calculer $v_0$.

  • b) Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison égale à $0,95$.

  • c) En déduire que pour tout entier naturel $n$ :

    $u_n = 4000 + 6000 \times 0,95^n.$

  • d) Quelle est la limite de la suite $\left(u_n\right)$ ? Justifier la réponse.

• 4. En 2020, une espèce animale comptait 10000 individus. L'évolution observée les années précédentes conduit à estimer qu'à partir de l'année 2021, cette population baissera de 5 % chaque début d'année.

  Pour ralentir cette baisse, il a été décidé de réintroduire $200$ individus à la fin de chaque année, à partir de 2021.

  Une responsable d'une association soutenant cette stratégie affirme que : « l'espèce ne devrait pas s'éteindre, mais malheureusement, nous n'empêcherons pas une disparition de plus de la moitié de la population ».

  Que pensez-vous de cette affirmation ? Justifier la réponse.