Exercice 4 — Suites et récurrence, Limites de suites

Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par $u_0 = - 1$ et, pour tout entier naturel $n$ :

$u_{n+1} = 0,9u_n - 0,3.$

• 1.

  • a) Démontrer par récurrence que, pour tout $n \in \mathbb{N}$,: $u_n = 2 \times 0,9^n - 3$.

  • b) En déduire que pour tout $n \in \mathbb{N},\: \: - 3 < u_n \leqslant - 1$.

  • c) Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est strictement décroissante.

  • d) Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ converge et préciser sa limite.

• 2. On se propose d'étudier la fonction $g$ définie sur $]-3 ; -1]$ par :

  $g(x) = \ln (0,5 x + 1,5) - x.$

  • a) Justifier toutes les informations données par le tableau de variations de la fonction $g$ (limites, variations, image de $-1$)

    (Figure : voir le sujet PDF.)

    (Figure : voir le sujet PDF.)

  • b) En déduire que l'équation $g(x) = 0$ a exactement une solution que l'on notera $\alpha$ et dont on donnera un encadrement d'amplitude $10^{-3}$.

• 3. Dans la suite de l'exercice, on considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout $\in \mathbb{N}$, par :

  $v_n = \ln \left(0,5 u_n + 1,5\right).$

  • a) En utilisant la formule donnée à la question 1. a., démontrer que la suite v est arithmétique de raison $\ln (0,9)$.

  • b) Soit $n$ un entier naturel.

    Démontrer que $u_n = v_n$ si, et seulement si $g\left(u_n\right) = 0$.

  • c) Démontrer qu'il n'existe aucun rang $k \in \mathbb{N}$ pour lequel $u_k = \alpha$.

  • d) En déduire qu'il n'existe aucun rang $k \in \mathbb{N}$ pour lequel $v_k = u_k$.