Exercice 3 — Dérivation et convexité, Fonction exponentielle

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.

Chaque réponse doit être justifiée.

Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

• 1. Affirmation : La fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \text{e}^x - x$ est convexe.

• 2. Affirmation : L'équation $\left(2\text{e}^x - 6\right)\left(\text{e}^x + 2\right) = 0$ admet $\ln (3)$ comme unique solution dans $\mathbb{R}$.

• 3. Affirmation :

  $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\text{e}^{2x} - 1}{\text{e}^x - x} = 0.$

• 4. Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (6x + 5)\text{e}^{3x}$ et $F$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :

  $F(x) = (2x + 1)\text{e}^{3x} + 4$.

  Affirmation : $F$ est la primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$ qui prend la valeur 5 quand $x = 0$.

• 5. On considère la fonction mystere définie ci-dessous qui prend une liste L de nombres en paramètre.

  On rappelle que len(L) représente la longueur de la liste L.

  def mystere(L) :
        S = 0
       for i in range(len(L)) :
            S = S + L[i]
       return S / len(L)
  

  Affirmation : L'exécution de mystere([1, 9, 9, 5, 0, 3, 6, 12, 0, 5]) renvoie $50$.