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Bac Maths 2023 — Polynésie — Jour 1
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Exercice 2 — Bac Maths 2023 — Polynésie — Jour 1 — Énoncé

Énoncé de l'exercice 2 — Bac Maths 2023 Polynésie

L'espace est muni d'un repère orthonormée (O ; ı⃗, ȷ⃗, k⃗)\left(O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k}\right).

On considère:

  • d1d_1 la droite passant par le point H(2 ; 3 ; 0) et de vecteur directeur $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}1

-1

1\end{pmatrix}$ ;

  • d2d_2 la droite de représentation paramétrique :
x &=& 2k - 3 \\ y &=&k \\ z &=&5 \end{array}\right. \quad \text{où }\:k \:\text{décrit }\: \mathbb{R}.$$ Le but de cet exercice est de déterminer une représentation paramétrique d'une droite $\Delta$ qui soit perpendiculaire aux droites $d_1$ et $d_2$. - **1.** - **a)** Déterminer un vecteur directeur $\overrightarrow{v}$ de la droite $d_2$. - **b)** Démontrer que les droites $d_1$ et $d_2$ ne sont pas parallèles. - **c)** Démontrer que les droites $d_1$ et $d_2$ ne sont pas sécantes. - **d)** Quelle est la position relative des droites $d_1$ et $d_2$ ? - **2.** - **a)** Vérifier que le vecteur $\overrightarrow{w}\begin{pmatrix}-1 2 3\end{pmatrix}$ est orthogonal à $\overrightarrow{u}$ et à $\overrightarrow{v}$. - **b)** On considère le plan $P$ passant par le point H et dirigé par les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{w}$. On admet qu'une équation cartésienne de ce plan est : $$5x + 4y - z - 22 = 0.$$ Démontrer que l'intersection du plan $P$ et de la droite $d_2$ est le point M(3 ; 3 ; 5). - **3.** Soit $\Delta$ la droite de vecteur directeur $\overrightarrow{w}$ passant par le point M. Une représentation paramétrique de $\Delta$ est donc donnée par: $$\left\{\begin{array}{lcl} x &=&- r + 3 \\ y &= &2r + 3 \\ z &=& 3r + 5 \end{array}\right. \quad \text{où }\:r\: \text{décrit }\mathbb{R}.$$ - **a)** Justifier que les droites $\Delta$ et $d_1$ sont perpendiculaires en un point L dont on déterminera les coordonnées. - **b)** Expliquer pourquoi la droite $\Delta$ est solution du problème posé.

À propos de l'exercice 2 du Bac Maths 2023 — Polynésie

Exercice 2 de l'épreuve de spécialité mathématiques du baccalauréat 2023, session Polynésie — Spé Maths. Il porte sur : Vecteurs, droites et plans, Orthogonalité et produit scalaire, Représentations paramétriques et équations cartésiennes. L'énoncé et la correction détaillée sont disponibles gratuitement ci-dessus.

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