Exercice 3 — Dérivation, Calcul intégral (aires, IPP, suites d'intégrales)

On munit le plan d'un repère orthonormé.

Pour tout entier naturel $n$, on considère la fonction $f_n$ définie sur $[0 ;  +\infty[$ par :

$f_0(x) = \text{e}^{- x}\quad \text{et, pour }\: n \geqslant 1, \: \: f_n(x) = x^n\text{e}^{-x}.$

Pour tout entier naturel $n$, on note $\mathcal{C}_n$ la courbe représentative de la fonction $f_n$.

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A : Étude des fonctions $f_n$ pour $n \geqslant 1$

On considère un entier naturel $n \geqslant 1$.

• 1.

  • a) On admet que la fonction $f_n$ est dérivable sur $[0 ; +\infty[$.

    Montrer que pour tout $x \geqslant 0$,

    $f'_n(x) = (n - x)x^{n-1}\text{e}^{-x}.$

  • b) Justifier tous les éléments du tableau ci-dessous:

    (Figure : voir le sujet PDF.)

    (Figure : voir le sujet PDF.)

• 2. Justifier par le calcul que le point A$\left(1 ; \text{e}^{-1}\right)$ appartient à la courbe $\mathcal{C}_n$.

Partie B : Étude des intégrales $\displaystyle\int_0^1 f_n(x)\,\text{d}x$pour $n \geqslant 0$

Dans cette partie, on étudie les fonctions $f_n$ sur [0 ;1] et on considère la suite $(I_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par:

$I_n = \displaystyle\int_0^1 f_n(x)\,\text{d} x = \displaystyle\int_0^1 x^n \text{e}^{-x}\,\text{d}x.$

• 1. Sur le graphique en ANNEXE, on a représenté les courbes $\mathcal{C}_0, \mathcal{C}_1, \mathcal{C}_2, \mathcal{C}_{10}$: et : $\mathcal{C}_{100}$.

  • a) Donner une interprétation graphique de $I_n$.

  • b) Par lecture de ce graphique, quelle conjecture peut-on émettre sur la limite de la suite $(I_n)$ ?

• 2. Calculer $I_0$.

• 3.

  • a) Soit $n$ un entier naturel.

    Démontrer que pour tout $x \in [0 ; 1]$,:

    $0 \leqslant x^{n+1} \leqslant x^n.$

  • b) En déduire que pour tout entier naturel $n$, on a :

    $0 \leqslant I_{n+1} \leqslant I_n.$

• 4. Démontrer que la suite $(I_n)$ est convergente, vers une limite positive ou nulle que l'on notera $\ell$.

• 5. En utilisant une intégration par parties, démontrer que pour tout entier naturel $n$ on a :

  $I_{n+1} = (n + 1)I_n - \dfrac{1}{\text{e}}.$

• 6.

  • a) Démontrer que si $\ell > 0$, l'égalité de la question 5 conduit à une contradiction.

  • b) Démontrer que $\ell = 0$. On pourra utiliser la question 6. a.

On donne ci-dessous le script de la fonction mystere, écrite en langage Python.

On a importé la constante e.

     def mystere(n):
       I = 1 - 1/e
       L = [I]
       for i in range(n):
           I = (i + 1)*I - 1/e
           L.append(I) 
      return L

• 1. Que renvoie mystere(100) dans le contexte de l'exercice ?