Exercice 2 — Représentations paramétriques et équations cartésiennes, Orthogonalité et produit scalaire

Deux avions sont en approche d'un aéroport.

On munit l'espace d'un repère orthonormé $\left(O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k}\right)$ dont l'origine O est le pied de la tour de contrôle, et le sol est le plan $P_0$ d'équation $z = 0$.

L'unité des axes correspond à 1 km.

On modélise les avions par des points.

(Figure : voir le sujet PDF.)

(Figure : voir le sujet PDF.)

L'avion Alpha transmet à la tour sa position en A$(-7 ;  1 ; 7)$ et sa trajectoire est dirigée par le vecteur $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}2

-1

-3\end{pmatrix}$.

L'avion Bêta transmet une trajectoire définie par la droite $d_{\text{B}}$ passant par le point B dont une représentation paramétrique est :

x &=&-11 + 5t \\ y &=&-5 + \phantom{5}t \\ z &=&11 - 4t \end{array}\right.\:\text{où}\: t\:\text{décrit}\:\: \mathbb{R}$$ - **1.** S'il ne dévie pas de sa trajectoire, déterminer les coordonnées du point S en lequel l'avion Bêta touchera le sol. - **2.** - **a)** Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d_{\text{A}}$ caractérisant la trajectoire de l'avion Alpha. - **b)** Les deux avions peuvent-ils entrer en collision ? - **3.** - **a)** Démontrer que l'avion Alpha passe par la position E$(-3 ; -1 ; 1)$. - **b)** Justifier qu'une équation cartésienne du plan $P_{\text{E}}$ passant par E et perpendiculaire à la droite $d_{\text{A}}$ est: $$2x - y - 3z + 8 = 0.$$ - **c)** Vérifier que le point F$(-1 ; -3 ; 3)$ est le point d'intersection du plan $P_{\text{E}}$ et de la droite $d_{\text{B}}$. - **d)** Calculer la valeur exacte de la distance EF, puis vérifier que cela correspond à une distance de 3464 m, à 1 m près. - **4.** La réglementation aérienne stipule que deux avions en approche doivent être à tout instant à au moins 3 milles nautiques l'un de l'autre (1 mille nautique vaut 1852 m). Si les avions Alpha et Bêta sont respectivement en E et F au même instant, leur distance de sécurité est-elle respectée ?