Exercice 3 — Dérivation, Continuité et TVI

On considère $n$ un entier naturel non nul.

On considère la fonction $f_n$ définie sur l’intervalle $[0 ; 1]$ par :

$f_n(x) = x^n \text{e}^{1 - x}.$

On admet que la fonction $f_n$ est dérivable sur $[0 ; 1]$ et on note $f'_n$ sa fonction dérivée.

Partie A

Dans cette partie on étudie le cas où $n = 1$.

On étudie donc la fonction $f_1$ définie sur $[0 ; 1]$ par :

$f_1(x) = x\text{e}^{1 - x}.$

• 1. Montrer que $f'_1(x)$ est strictement positive pour tout réel $x$ de $[0 ; 1[$.
• 2. En déduire le tableau de variations de la fonction $f_1$ sur l'intervalle $[0 ; 1]$
• 3. En déduire que l'équation $f_1(x)= 0,1$ admet une unique solution dans l'intervalle $[0 ; 1]$

Partie B

On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ non nul par

$u_n = \displaystyle\int_0^1 f_n(x) \:\text{d}x$ c'est-à-dire $u_n = \displaystyle\int_0^1 x^n \text{e}^{1-x} \: \text{d}x$.

On admet que $u_1 = \text{e} - 2$.

• 1.

  • a) Justifier que pour tout $x \in [0 ; 1]$ et pour tout entier naturel $n$ non nul,

    $0 \leqslant x^{n+1} \leqslant x^n$

    .

  • b) En déduire que pour tout entier naturel $n$ non nul,

    $0 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n.$

  • c) Montrer que la suite $(u_n)$ est convergente.

• 2.

  • a) À l’aide d’une intégration par parties, démontrer que pour tout entier naturel $n$ non nul on a :

    $u_{n+1} = (n + 1)u_n - 1.$

  • b) On considère le script Python ci-dessous définissant la fonction suite() :

    from math import exp
    
     
    
    def suite():
    
         u = …
    
         for n in range (1, …):
    
                   u = …
    
         return
    

    Recopier et compléter le script Python ci-dessus pour que la fonction suite() renvoie la valeur de $\displaystyle\int_0^1 x^8 \text{e}^{1-x} \, \text{d}x$.

• 3.

  • a) Démontrer que pour tout entier naturel $n$ non nul on a :

    $u_{n} \leqslant \frac{\text{e}}{n+1}.$

  • b) En déduire la limite de la suite $(u_n)$.