Exercice 4 — Vecteurs, droites et plans, Orthogonalité et produit scalaire

L'espace est muni d'un repère orthonormé $\left(O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath}\right)$.

On considère les points A$(1 ;2 ; -1)$, B$(0 ;3 ; 2)$, C$(-2 ;4 ; 0)$ et D$(8 ;2 ; -11)$.

• 1.

  • a) Démontrer que les points A, B et C définissent un plan.

  • b) Démontrer que le vecteur $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}5

    8

    -1\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan (ABC).

  • c) En déduire qu'une équation cartésienne du plan (ABC) est $5x+ 8y - z - 22 = 0$.

  • d) Vérifier que le point D n'appartient pas au plan $(ABC)$.

• 2.

  • a) On considère la droite $\Delta$, orthogonale au plan (ABC) et passant par D.

    Justifier qu'une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ est :

    x = \phantom{-}8+ 5t y = \phantom{-}2+ 8t z = -11- t \end{cases}, \quad \text{avec } t \in \mathbb{R}.$$

  • b) On appelle E le point d'intersection de la droite $\Delta$ et du plan (ABC).

    Démontrer que le point E a pour coordonnées $\left(\dfrac{11}{2} ; -2 ; -\dfrac{21}{2}\right)$.

  • c) En déduire la valeur exacte de la longueur DE, distance du point D au plan (ABC).

• 3. On note H le point de coordonnées $\left(-\dfrac{2}{3} ;\dfrac{10}{3} ;\dfrac{4}{3}\right)$.

  On admet qu'une représentation paramétrique de la droite (BC) est :

  x = \phantom{3}-2k y = 3+k z = 2-2k \end{cases}, \quad \text{avec } k \in \mathbb{R}.$$ Avec un logiciel de calcul formel, on obtient les résultats suivants : *(Tableau : voir le sujet PDF.)* - **a)** En utilisant les deux premiers résultats obtenus avec la feuille de calculs ci-dessus, justifier que le point H est le projeté orthogonal du point A sur la droite (BC). - **b)** En exploitant les autres résultats obtenus avec la feuille de calculs ci-dessus, déterminer le volume du tétraèdre ABCD. On rappelle que le volume $\mathcal{V}$ d'un tétraèdre est donné par $\mathcal{V} = \dfrac{1}{3}\times\mathcal{B}\times h$, où $\mathcal{B}$ est l'aire d'une base du tétraèdre et $h$ la hauteur relative à cette base.