Exercice 3 — Vecteurs, droites et plans, Orthogonalité et produit scalaire

Dans cet exercice l'unité est le centimètre.

On considère une pyramide à base carrée SABCD comme dans la figure ci-dessous.

(Figure : voir le sujet PDF.)

Dans cette figure :

• AB = BC = CD = DA = OS = 2 cm ;
• I est le milieu de [CD], J le milieu de [BC] et K le milieu de [OS].

L'espace est muni du repère orthonormé $\left(\mathrm{O}; \overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OJ}, \overrightarrow{OK}\right)$.

On admet que B$(-1 ; 1 ; 0)$, C$(1 ; 1 ; 0)$, et S$(0 ; 0 ; 2)$.

Les parties A et B sont indépendantes.

---

• 1. Donner les coordonnées des points A et D.
• 2. Calculer le produit scalaire $\overrightarrow{SC}\cdot\overrightarrow{SB}$.
• 3. En déduire la mesure de l'angle $\widehat{\mathrm{BSC}}$ arrondie au dixième de degré près.

---

On se propose dans cette partie de déterminer la distance du point O au plan (SBC).

• 1. Soit $\overrightarrow{n}$ le vecteur de coordonnées $\begin{pmatrix} 0

  2

  1

  \end{pmatrix}$.

  • a) Justifier que le vecteur $\overrightarrow{n}$ est normal au plan (SBC).

  • b) En déduire qu'une équation cartésienne du plan (SBC) est $2 y+z-2=0$.

• 2. On note H le projeté orthogonal du point O sur le plan (SBC).

  • a) a. Justifier qu'une représentation paramétrique de la droite (OH) est :

    x =0 y =2t z =t \end{cases}\text{ avec } t \in \mathbb{R}.$$

  • b) Calculer les coordonnées du point H.

  • c) En déduire que la distance du point O au plan (SBC) est égale à $\dfrac{2 \sqrt{5}}{5}$ cm.

---

On se propose ici de retrouver le résultat de la partie B par une autre méthode.

• 1. On rappelle que le volume d'une pyramide est donné par :

  $V =\dfrac{1}{3} \times \text{ aire de la base} \times \text{hauteur}$

  • a) Calculer le volume de la pyramide SABCD.

  • b) En déduire que le volume de la pyramide OCBS est égal à $\dfrac{2}{3}$ cm$^{3}$.

• 2. Déterminer l'aire du triangle SBC.

• 3. Déduire des questions précédentes que la distance du point O au plan (SBC) est égale à $\dfrac{2 \sqrt{5}}{5}$ cm.