Exercice 2 — Fonction exponentielle, Dérivation

2021 · Métropole · Terminale · Spé Maths

Code épreuve : T-MATH-2021-METROPOLE

Term. Spé Maths — Analyse (Fonctions)Fonction exponentielle Dérivation Étude complète de fonction Continuité et TVI

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Exercice 2 — Bac Maths 2021 — Métropole — Jour 2 — Énoncé

Énoncé de l'exercice 2 — Bac Maths 2021 Métropole

On considère les suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ définies pour tout entier naturel $n$ par :

u_0 & v_0 = 1 u_{n+1} & u_n +v_n v_{n+1} & 2u_n + v_n \end{array}\right.$$ Dans toute la suite de l'exercice, on **admet** que les suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ **sont strictement positives**. - **1.** - **a)** Calculez $u_1$ et $v_1$. - **b)** Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est strictement croissante, puis en déduire que, pour tout entier naturel $n$,\: $v_n \geqslant 1$. - **c)** Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n \geqslant n + 1$. - **d)** En déduire la limite de la suite $\left(u_n\right)$. - **2.** On pose, pour tout entier naturel $n$ : $$r_n = \dfrac{v_n}{u_n}.$$ On admet que: $$r_n^2 = 2 + \dfrac{(- 1)^{n+1}}{u_n^2}$$ - **a)** Démontrer que pour tout entier naturel $n$ : $$- \dfrac{1}{u_n^2} \leqslant \dfrac{(- 1)^{n+1}}{u_n^2} \leqslant \dfrac{1}{u_n^2}.$$ - **b)** En déduire : $$\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \dfrac{(- 1)^{n+1}}{u_n^2}.$$ - **c)** Déterminer la limite de la suite $\left(r_n^2\right)$ et en déduire que $\left(r_n\right)$ converge vers $\sqrt{2}$. - **d)** Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $$r_{n+1} = \dfrac{2 + r_n}{1 + r_n}.$$ - **e)** On considère le programme suivant écrit en langage Python : \fbox{ ```python def seuil(): n = 0 r = 1 while abs(r-sqrt(2)) > 10**(-4) : \quad r = (2+r)/(1+r) \quad n = n+1 return n ``` } (abs désigne la valeur absolue, sqrt la racine carrée et 10** (-4) représente $10^{-4}$). La valeur de $n$ renvoyée par ce programme est 5. À quoi correspond-elle ?

À propos de l'exercice 2 du Bac Maths 2021 — Métropole

Exercice 2 de l'épreuve de spécialité mathématiques du baccalauréat 2021, session Métropole — Spé Maths. Il porte sur : Fonction exponentielle, Dérivation, Étude complète de fonction, Continuité et TVI. L'énoncé et la correction détaillée sont disponibles gratuitement ci-dessus.

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