Exercice 1 — Suites et récurrence, Limites de suites

Commun à tous les candidats

En 2020, une influenceuse sur les réseaux sociaux compte 1000 abonnés à son profil. On modélise le nombre d'abonnés ainsi: chaque année, elle perd 10 % de ses abonnés auxquels s'ajoutent $250$ nouveaux abonnés.

Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ le nombre d'abonnés à son profil en l'année $(2020 + n)$, suivant cette modélisation. Ainsi $u_0 = 1000$.

• 1. Calculer $u_1$.

• 2. Justifier que pour tout entier naturel $n,\, u_{n+1} = 0,9u_n + 250$.

• 3. La fonction Python nommée « suite » est définie ci-dessous. Dans le contexte de l'exercice, interpréter la valeur renvoyée par suite(10).

  def suite( n) :
       u = 1000
       for i in range(n) :
        u = 0,9*u + 250
       return u
  

• 4.

  • a) Montrer, à l'aide d'un raisonnement par récurrence, que pour tout entier naturel $n$, $u_n \leqslant 2500$.

  • b) Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.

  • c) Déduire des questions précédentes que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.

• 5. Soit $\left(v_n\right)$ la suite définie par $v_n = u_n - 2500$ pour tout entier naturel $n$.

  • a) Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,9$ et de terme initial $v_0 = - 1500$.

  • b) Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$ et montrer que :

    $u_n = - 1500 \times 0,9^n + 2500.$

  • c) Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$ et interpréter dans le contexte de l'exercice.

• 6. Écrire un programme qui permet de déterminer en quelle année le nombre d'abonnés dépassera 2200.

  Déterminer cette année.