Exercice 4 — Dérivation et convexité, Logarithme népérien

(Tableau : voir le sujet PDF.)

Partie I : lectures graphiques

$f$ désigne une fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}$.

On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction dérivée $f'$.

(Figure : voir le sujet PDF.)

(Figure : voir le sujet PDF.)

Avec la précision permise par le graphique, répondre aux questions suivantes

• 1. Déterminer le coefficient directeur de la tangente à la courbe de la fonction $f$ en $0$.

• 2.

  • a) Donner les variations de la fonction dérivée $f'$.

  • b) En déduire un intervalle sur lequel $f$ est convexe.

Partie II : étude de fonction

La fonction $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par

$f(x) = \ln \left(x^2 + x + \dfrac{5}{2}\right).$

• 1. Calculer les limites de la fonction $f$ en $+\infty$ et en $-\infty$.

• 2. Déterminer une expression $f'(x)$ de la fonction dérivée de $f$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.

• 3. En déduire le tableau des variations de $f$. On veillera à placer les limites dans ce tableau.

• 4.

  • a) Justifier que l'équation $f(x) = 2$ a une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle $\left[-\dfrac{1}{2} ; + \infty\right[$.

  • b) Donner une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-1}$ près.

• 5. La fonction $f'$ est dérivable sur $\mathbb{R}$. On admet que, pour tout $x \in \mathbb{R}$,, $f''(x) = \dfrac{-2x^2 - 2x + 4}{\left(x^2 + x + \dfrac{5}{2}\right)^2}$.

  Déterminer le nombre de points d'inflexion de la courbe représentative de $f$.