Exercice 2 — Orthogonalité et produit scalaire, Représentations paramétriques et équations cartésiennes

On considère un cube ABCDEFGH d'arête 8 cm et de centre $\Omega$.

Les points P, Q et R sont définis par $\overrightarrow{\text{AP}} = \dfrac{3}{4}\overrightarrow{\text{AB}},\, \overrightarrow{\text{AQ}} =  \dfrac{3}{4}\overrightarrow{\text{AE}}$ et $\overrightarrow{\text{FR}} = \dfrac{1}{4}\overrightarrow{\text{FG}}$.

On se place dans le repère orthonormé $\left(\text{A} ;\overrightarrow{\imath}, \overrightarrow{\jmath}, \overrightarrow{k}\right)$ avec : $\overrightarrow{\imath} = \dfrac{1}{8}\overrightarrow{\text{AB}},\, \overrightarrow{\jmath}= \dfrac{1}{8}\overrightarrow{\text{AD}}$ et

$\overrightarrow{k} = \dfrac{1}{8}\overrightarrow{\text{AE}}$.

(Figure : voir le sujet PDF.)

(Figure : voir le sujet PDF.)

Partie I

• 1. Dans ce repère, on admet que les coordonnées du point R sont (8 ; 2 ; 8).

  Donner les coordonnées des points P et Q.

• 2. Montrer que le vecteur $\overrightarrow{n}(1 ; -5 ; 1)$ est un vecteur normal au plan (PQR).

• 3. Justifier qu'une équation cartésienne du plan (PQR) est $x - 5y + z - 6 = 0$.

Partie II

On note L le projeté orthogonal du point $\Omega$ sur le plan (PQR).

• 1. Justifier que les coordonnées du point $\Omega$ sont (4 ; 4 ; 4).
• 2. Donner une représentation paramétrique de la droite $d$ perpendiculaire au plan (PQR) et passant par $\Omega$.
• 3. Montrer que les coordonnées du point L sont $\left(\dfrac{14}{3} ;  \dfrac{2}{3} ; \dfrac{14}{3}\right)$
• 4. Calculer la distance du point $\Omega$ au plan (PQR).