Exercice 5 — Équations différentielles, Fonction exponentielle

(Tableau : voir le sujet PDF.)

Partie I

Considérons l'équation différentielle

$y'= -0,4y + 0,4$

où $y$ désigne une fonction de la variable $t$, définie et dérivable sur $[0 ;  + \infty[$.

• 1.

  • a) Déterminer une solution particulière constante de cette équation différentielle.

  • b) En déduire l'ensemble des solutions de cette équation différentielle.

  • c) Déterminer la fonction $g$, solution de cette équation différentielle, qui vérifie $g(0) = 10$.

Partie II

Soit $p$ la fonction définie et dérivable sur l'intervalle $[0 ; + \infty[$ par

$p(t) = \dfrac{1}{g(t)} = \dfrac{1}{1 + 9\text{e}^{-0,4t}}.$

• 1. Déterminer la limite de $p$ en $+ \infty$.

• 2. Montrer que $p'(t) = \dfrac{3,6\text{e}^{-0,4t}}{ \left(1 + 9\text{e}^{-0,4t}\right)^2}$ pour tout $t \in [0 ; + \infty[$.

• 3.

  • a) Montrer que l'équation $p(t) = \dfrac{1}{2}$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[0 ; + \infty[$.

  • b) Déterminer une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-1}$ près à l'aide d'une calculatrice.

Partie III

• 1. $p$ désigne la fonction de la partie II.

  Vérifier que $p$ est solution de l'équation différentielle $y' = 0,4y(1 - y)$ avec la condition initiale $y(0) = \dfrac{1}{10}$ où $y$ désigne une fonction définie et dérivable sur $[0 ;  + \infty[$.

• 2. Dans un pays en voie de développement, en l'année 2020, 10 % des écoles ont accès à internet.

  Une politique volontariste d'équipement est mise en œuvre et on s'intéresse à l'évolution de la proportion des écoles ayant accès à internet.

  On note $t$ le temps écoulé, exprimé en année, depuis l'année 2020.

  La proportion des écoles ayant accès à internet à l'instant $t$ est modélisée par $p(t)$.

  Interpréter dans ce contexte la limite de la question II 1 puis la valeur approchée de $\alpha$ de la question II 3. b. ainsi que la valeur $p(0)$.