Exercice 3 — Vecteurs, droites et plans, Orthogonalité et produit scalaire

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé $\left(O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k}\right)$, on considère les points

$\mathrm{A}(1 ; 2 ; 3),\quad \mathrm{B}(-1 ; 3 ; 1),\quad \mathrm{C}(2 ; 1 ; 6) \quad \text { et } \quad \mathrm{D}(3 ;-2 ;-1).$

• 1.

  • a) Montrer que les points A, B et C définissent un plan.

  • b) Montrer que le vecteur $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 1

    4

    1 \end{pmatrix}$ est normal au plan (ABC).

  • c) En déduire une équation cartésienne du plan (ABC).

• 2.

  • a) Déterminer une équation paramétrique de la droite $(d)$, perpendiculaire au plan (ABC) et passant par le point D.

  • b) Déterminer les coordonnées du point H qui est le projeté orthogonal du point D sur le plan (ABC).

  • c) En déduire que la distance du point D au plan (ABC) est égale à $3\sqrt{2}$.

• 3.

  • a) Montrer que

    $\cos\left(\,\widehat{\mathrm{BAC}}\,\right)=-\dfrac{3\sqrt{11}}{11}$

  • b) En déduire la valeur exacte de $\sin\left(\,\widehat{\mathrm{BAC}}\,\right)$.

  • c) Montrer que l'aire du triangle ABC vaut $\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$.

• 4. Déterminer le volume du tétraèdre ABCD.

  On rappelle que le volume $\mathcal{V}$ d'un tétraèdre est donné par la formule suivante :

  $\mathcal{V}=\dfrac{1}{3}\times\mathcal{B}\times h\, ,\quad \text{ où } \mathcal{B}\text{ est l'aire d'une base et } h\text{ la hauteur qui lui est associée.}$