Exercice 4 — Probabilités conditionnelles et arbres, Variables aléatoires et sommes

Partie A

On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ de ]0 ; 1] par:

$f(x) = \text{e}^{-x} + \ln (x).$

• 1. Calculer la limite de $f$ en $0$.

• 2. On admet que $f$ est dérivable sur ]0 ; 1]. On note $f'$ sa fonction dérivée.

  Démontrer que, pour tout réel $x$ appartenant à ]0 ; 1], on a :

  $f'(x) = \dfrac{1 - x\text{e}^{-x}}{x}$

• 3. Justifier que, pour tout réel $x$ appartenant à ]0 ; 1], on a $x\text{e}^{-x} < 1$.

  En déduire le tableau de variation de $f$ sur ]0 ; 1].

• 4. Démontrer qu'il existe un unique réel $\ell$ appartenant à ]0 ; 1] tel que $f(\ell) = 0$.

Partie B

• 1. On définit deux suites $\left(a_n\right)$ et $\left(b_n\right)$ par:

  a_0& =& \dfrac{1}{10} \\

b_0& =& 1 \end{array}\right.: \text{et, pour tout entier naturel }: n,\left{\begin{array}{lcl} a_{n+1}&=&\text{e}^{-b_n} \ b_{n+1}&=&\text{e}^{-a_n} \end{array}\right.$$

• a) Calculer $a_1$ et $b_1$. On donnera des valeurs approchées à $10^{-2}$ près.

• b) On considère ci-dessous la fonction termes, écrite en langage Python.

  def termes (n) :
       a=1/10
       b=1
       for k in range(0,n) :
       c= …
       b  = …
       a = c
       return(a,b)
  

  Recopier et compléter sans justifier le cadre ci-dessus de telle sorte que la fonction termes calcule les termes des suites $\left(a_n\right)$ et $\left(b_n\right)$.

• 2. On rappelle que la fonction $x \longmapsto \text{e}^{-x}$ est décroissante sur $\mathbb{R}$.

  • a) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a :

    $0 < a_n \leqslant a_{n+1} \leqslant b_{n+1} \leqslant b_n \leqslant 1$

  • b) En déduire que les suites $\left(a_n\right)$ et $\left(b_n\right)$ sont convergentes.

• 3. On note $A$ la limite de $\left(a_n\right)$ et $B$ la limite de $\left(b_n\right)$.

  On admet que $A$ et $B$ appartiennent à l'intervalle ]0 ; 1], et que $A = \text{e}^{-B}$ et $B = \text{e}^{-A}$.

  • a) Démontrer que $f(A) = 0$.

  • b) Déterminer $A - B$.