Exercice 1 — Fonction exponentielle, Dérivation et convexité

Les résultats seront arrondis si besoin à $10^{- 4}$ près

Une étude statistique réalisée dans une entreprise fournit les informations suivantes :

• 48 % des salariés sont des femmes. Parmi elles, 16,5 % exercent une profession de cadre ;

• 52 % des salariés sont des hommes. Parmi eux, 21,5 % exercent une profession de cadre. On choisit une personne au hasard parmi les salariés. On considère les évènements suivants:

• $F$: « la personne choisie est une femme » ;

• $C$: « la personne choisie exerce une profession de cadre ».

• 1. Représenter la situation par un arbre pondéré.

• 2. Calculer la probabilité que la personne choisie soit une femme qui exerce une profession de cadre.

• 3.

  • a) Démontrer que la probabilité que la personne choisie exerce une profession de cadre est égale à $0,191$.

  • b) Les évènements $F$ et $C$ sont-ils indépendants ? Justifier.

• 4. Calculer la probabilité de $F$ sachant $C$, notée $P_C(F)$. Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

• 5. On choisit au hasard un échantillon de $15$ salariés. Le grand nombre de salariés dans l'entreprise permet d'assimiler ce choix à un tirage avec remise.

  On note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de cadres au sein de l'échantillon de 15 salariés.

  On rappelle que la probabilité qu'un salarié choisi au hasard soit un cadre est égale à $0,191$.

  • a) Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

  • b) Calculer la probabilité que l'échantillon contienne au plus 1 cadre.

  • c) Déterminer l'espérance de la variable aléatoire $X$.

• 6. Soit $n$ un entier naturel.

  On considère dans cette question un échantillon de $n$ salariés.

  Quelle doit être la valeur minimale de $n$ pour que la probabilité qu'il y ait au moins un cadre au sein de l'échantillon soit supérieure ou égale à $0,99$ ?