Exercice 2 — Suites définies par une fonction (uₙ₊₁ = f(uₙ)), Logarithme népérien

On considère le cube ABCDEFGH de côté 1 représenté ci-dessous.

(Figure : voir le sujet PDF.)

(Figure : voir le sujet PDF.)

On munit l'espace du repère orthonormé $\left(\text{A} ; \overrightarrow{\text{AB}},\, \overrightarrow{\text{AD}},\, \overrightarrow{\text{AE}}\right)$.

• 1.

  • a) Justifier que les droites (AH) et (ED) sont perpendiculaires.

  • b) Justifier que la droite (GH) est orthogonale au plan (EDH).

  • c) En déduire que la droite (ED) est orthogonale au plan (AGH).

• 2. Donner les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{\text{ED}}$.

  Déduire de la question 1. c. qu'une équation cartésienne du plan (AGH) est:

  $y - z = 0.$

• 3. On désigne par L le point de coordonnées $\left(\dfrac23 ; 1 ; 0\right)$.

  • a) Déterminer une représentation paramétrique de la droite (EL).

  • b) Déterminer l'intersection de la droite (EL) et du plan (AGH).

  • c) Démontrer que le projeté orthogonal du point L sur le plan (AGH) est le point K de coordonnées $\left(\dfrac23 ; \dfrac12 ; \dfrac12\right)$.

  • d) Montrer que la distance du point L au plan (AGH) est égale à $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

  • e) Déterminer le volume du tétraèdre LAGH.

    On rappelle que le volume $V$ d'un tétraèdre est donné par la formule :

    $V = \dfrac13 \times (\text{aire de la base}) \times \text{hauteur}.$