Exercice 3 — Vecteurs, droites et plans, Orthogonalité et produit scalaire

*Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.

Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.

Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point.

Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie.

Aucune justification n'est demandée.*

• 1. Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = x^{1000} + x$.

  On peut affirmer que :

  • a) la fonction $g$ est concave sur $\mathbb{R}$.

  • b) la fonction $g$ est convexe sur $\mathbb{R}$.

  • c) la fonction $g$ possède exactement un point d'inflexion.

  • d) la fonction $g$ possède exactement deux points d'inflexion.

• 2. On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur $\mathbb{R}$.

  On note $f'$ sa fonction dérivée.

  On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$.

  On note $\Gamma$ la courbe représentative de $f'$.

  On a tracé ci-contre la courbe $\Gamma$.

  (Figure : voir le sujet PDF.)

  (Figure : voir le sujet PDF.)

  On note $T$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 0 .

  On peut affirmer que la tangente $T$ est parallèle à la droite d'équation :

  (Tableau : voir le sujet PDF.)

• 3. On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n = \dfrac{(-1)^n}{n+1}$.

  On peut affirmer que la suite $\left(u_n\right)$ est :

  (Tableau : voir le sujet PDF.)

• 4. Soit $k$ un nombre réel non nul.

  Soit $\left(v_n\right)$ une suite définie pour tout entier naturel $n$.

  On suppose que $v_0 = k$ et que pour tout $n$, on a $v_n \times v_{n+1} < 0$.

  On peut affirmer que $v_{10}$ est :

  (Tableau : voir le sujet PDF.)

• 5. On considère la suite $\left(w_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par :

  $w_{n+1} = 2w_n - 4\quad \text{et}\quad w_2 = 8.$

  On peut affirmer que:

  (Tableau : voir le sujet PDF.)

• 6. (Cette question ne fait pas partie du sujet donné à Madagascar) On considère la suite $\left(a_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par :

  $a_{n+1} = \dfrac{\text{e}^n}{\text{e}^n + 1}a_n\quad \text{et} \quad a_0 = 1.$

  On peut affirmer que :

  (Tableau : voir le sujet PDF.)

• 7. Une cellule se reproduit en se divisant en deux cellules identiques, qui se divisent à leur tour, et ainsi de suite.

  On appelle temps de génération le temps nécessaire pour qu'une cellule donnée se divise en deux cellules.

  On a mis en culture 1 cellule. Au bout de 4 heures, il y a environ 4000 cellules.

  On peut affirmer que le temps de génération est environ égal à :

  (Tableau : voir le sujet PDF.)