Exercice 2 — Probabilités conditionnelles et arbres, Loi binomiale

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.

Dans une grande ville française, des trottinettes électriques sont mises à disposition des usagers. Une entreprise, chargée de l'entretien du parc de trottinettes, contrôle leur état chaque lundi.

Partie A

On estime que :

• lorsqu'une trottinette est en bon état un lundi, la probabilité qu'elle soit encore en bon état le lundi suivant est $0,9$ ;
• lorsqu'une trottinette est en mauvais état un lundi, la probabilité qu'elle soit en bon état le lundi suivant est $0,4$.

On s'intéresse à l'état d'une trottinette lors des phases de contrôle.

Soit $n$ un entier naturel. On note $B_n$ l'évènement « la trottinette est en bon état $n$ semaines après sa mise en service » et $p_n$ la probabilité de $B_n$.

Lors de sa mise en service, la trottinette est en bon état. On a donc $p_0 = 1$.

• 1. Donner $p_1$ et montrer que $p_2 = 0,85$.

  On pourra s'appuyer sur un arbre pondéré.

• 2. Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous :

  (Figure : voir le sujet PDF.)

• 3. En déduire que, pour tout entier naturel $n$,: $p_{n+1} = 0,5p_n + 0,4$.

• 4.

  • a) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$,: $p_n \geqslant 0,8$.

  • b) À partir de ce résultat, quelle communication l'entreprise peut-elle envisager pour valoriser la fiabilité du parc ?

• 5.

  • a) On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n = p_n - 0,8$.

    Montrer que $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on donnera le premier terme et la raison.

  • b) En déduire l'expression de $u_n$ puis de $p_n$ en fonction de $n$.

  • c) En déduire la limite de la suite $\left(p_n\right)$.

Partie B

Dans cette partie, on modélise la situation de la façon suivante :

• l'état d'une trottinette est indépendant de celui des autres ;
• la probabilité qu'une trottinette soit en bon état est égale à $0,8$.

On note $X$ la variable aléatoire qui, à un lot de $15$ trottinettes, associe le nombre de trottinettes en bon état.

Le nombre de trottinettes du parc étant très important, le prélèvement de 15 trottinettes peut être assimilé à un tirage avec remise.

• 1. Justifier que $X$ suit une loi binomiale et préciser les paramètres de cette loi.
• 2. Calculer la probabilité que les $15$ trottinettes soient en bon état.
• 3. Calculer la probabilité qu'au moins $10$ trottinettes soient en bon état dans un lot de $15$.
• 4. On admet que $E(X) = 12$. Interpréter le résultat.