Exercice 3 — Vecteurs, droites et plans, Orthogonalité et produit scalaire

On considère le prisme droit ABFEDCGH, de base ABFE, trapèze rectangle en A.

On associe à ce prisme le repère orthonormé $\left(\text{A} ; \overrightarrow{\imath}, \overrightarrow{\jmath},\overrightarrow{k}\right)$ tel que :

$\overrightarrow{\imath} = \dfrac14\overrightarrow{\text{AB}}, \quad \overrightarrow{\jmath} = \dfrac14\overrightarrow{\text{AD}}, \quad \overrightarrow{k} = \dfrac18\overrightarrow{\text{AE}}.$

De plus on a $\overrightarrow{\text{BF}} = \dfrac12\overrightarrow{\text{AE}}$.

On note I le milieu du segment [EF].

On note J le milieu du segment [AE].

(Figure : voir le sujet PDF.)

(Figure : voir le sujet PDF.)

• 1. Donner les coordonnées des points I et J.

• 2. Soit $\overrightarrow{n}$ le vecteur de coordonnées $\begin{pmatrix}-1

  1

  1\end{pmatrix}$.

  • a) Montrer que le vecteur $\overrightarrow{n}$ est normal au plan (IGJ).

  • b) Déterminer une équation cartésienne du plan (IGJ).

• 3. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d$, perpendiculaire au plan (IGJ) et passant par H.

• 4. On note L le projeté orthogonal du point H sur le plan (IGJ).

  Montrer que les coordonnées de L sont $\left(\dfrac83 ;  \dfrac43 ; \dfrac{16}{3}\right)$.

• 5. Calculer la distance du point H au plan (IGJ).

• 6. Montrer que le triangle IGJ est rectangle en I.

• 7. En déduire le volume du tétraèdre IGJH.

On rappelle que le volume $V$ d'un tétraèdre est donné par la formule :

$V = \dfrac13 \times (\text{aire de la base}) \times \text{hauteur}.$