Exercice 4 — Suites définies par une fonction (uₙ₊₁ = f(uₙ))

Partie A

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0 ; +\infty[$ par

$f(x) = \sqrt{x + 1}.$

On admet que cette fonction est dérivable sur ce même intervalle.

• 1. Démontrer que la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $[0 ; +\infty[$.

• 2. Démontrer que pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $[0 ; +\infty[$ :

  $f(x) - x = \dfrac{-x^2 + x + 1}{\sqrt{x + 1} + x}.$

• 3. En déduire que sur l'intervalle $[0 ; +\infty[$ l'équation $f(x) = x$ admet pour unique solution :

  $\ell = \dfrac{1 +\sqrt 5}{2}.$

Partie B

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 5$ et pour tout entier naturel $n$, par

$u_{n+1} = f\left(u_n\right)$ où $f$ est la fonction étudiée dans la partie A.

On admet que la suite de terme général $u_n$ est bien définie pour tout entier naturel $n$.

• 1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, on a

  $1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n.$

• 2. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ converge.

• 3. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ converge vers $\ell = \dfrac{1 +\sqrt 5}{2}$.

• 4. On considère le script Python ci-dessous :

  1 &from math import *
  2 &def seuil(n):
  3 &     u=5
  4 &     i=0
  5 &     \ell =(1 + sqrt(5))/2
  6 &     while abs(u-\ell)>=10**(-n):
  7 &          u=sqrt(u+1)
  8 &          i=i+1
  9 &     return(i)
  

  On rappelle que la commande abs(x) renvoie la valeur absolue de $x$.

  • a) Donner la valeur renvoyée par seuil (2).

  • b) La valeur renvoyée par seuil (4) est 9.

    Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.