Exercice 2 — Étude complète de fonction, Dérivation et convexité

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]-\infty ; 1[$ par

$f(x) = \dfrac{\text{e}^x}{x - 1}.$

On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $]-\infty ; 1[$ .

On appelle $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère.

• 1.

  • a) Déterminer la limite de la fonction $f$ en 1.

  • b) En déduire une interprétation graphique.

• 2. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $-\infty$.

• 3.

  • a) Montrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $]-\infty ; 1[$ , on a

    $f'(x) = \dfrac{(x - 2)\text{e}^x}{(x - 1)^2}.$

  • b) Dresser, en justifiant, le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]-\infty ; 1[$.

• 4. On admet que pour tout réel $x$ de l'intervalle ]$]-\infty ; 1[$, on a

  $f''(x) = \dfrac{\left(x^2 -4x + 5\right)\text{e}^x}{(x - 1)^3}.$

  • a) Étudier la convexité de la fonction $f$ sur l'intervalle $]-\infty ; 1[$.

  • b) Déterminer l'équation réduite de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 0.

  • c) En déduire que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $]-\infty ; 1[$, on a :

    $\text{e}^x \geqslant (-2x - 1)(x-1).$

• 5.

  • a) Justifier que l'équation $f(x) = -2$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle $]-\infty ; 1[$.

  • b) À l'aide de la calculatrice, déterminer un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$.