Exercice 3 — Orthogonalité et produit scalaire, Représentations paramétriques et équations cartésiennes

Le cube ABCDEFGH a pour arête 1 cm.

Le point I est le milieu du segment [AB] et le point J est le milieu du segment [CG].

(Figure : voir le sujet PDF.)

(Figure : voir le sujet PDF.)

On se place dans le repère orthonormé $\left(\text{A} ; \overrightarrow{\text{AB}}, \overrightarrow{\text{AD}},  \overrightarrow{\text{AE}}\right)$.

• 1. Donner les coordonnées des points I et J.

• 2. Montrer que le vecteur $\overrightarrow{\text{EJ}}$ est normal au plan (FHI).

• 3. Montrer qu'une équation cartésienne du plan (FHI) est $- 2x - 2y + z + 1 = 0$.

• 4. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (EJ).

• 5.

  • a) On note K le projeté orthogonal du point E sur le plan (FHI). Calculer ses coordonnées.

  • b) Montrer que le volume de la pyramide EFHI est $\dfrac16$ cm$^3$.

    On pourra utiliser le point L, milieu du segment . On admet que ce point est le projeté orthogonal du point I sur le plan (EFH).

  • c) Déduire des deux questions précédentes l'aire du triangle FHI.