Exercice 3 — Vecteurs, droites et plans, Orthogonalité et produit scalaire

On considère le cube ABCDEFGH représenté ci-dessous.

(Figure : voir le sujet PDF.)

On munit l'espace du repère orthonormal $\left(\mathrm{A};\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}\right)$.

Soit I le milieu du segment [EF], J le milieu de [EH] et K le milieu de [AE].

• 1. Donner les coordonnées des points I, J et K.

• 2.

  • a) Déterminer la valeur du produit scalaire $\overrightarrow{AI}\cdot\overrightarrow{AJ}$.

  • b) En déduire la mesure de l'angle $\widehat{\mathrm{IAJ}}$ arrondie au dixième de degré.

• 3.

  • a) Démontrer que le vecteur $\overrightarrow{KC}$ est un vecteur normal au plan (AIJ).

  • b) En déduire qu'une équation cartésienne du plan (AIJ) est

    $x+y-\dfrac{1}{2}z=0$

• 4. Soit L le projeté orthogonal du point C sur le plan (AIJ).

  • a) Déterminer les coordonnées du point L.

  • b) En déduire que la distance du point C au plan (AIJ) est égale à $\dfrac{4}{3}$.

• 5. Soit M un point de la droite (FG).

  On admet que les coordonnées de M sont $(1 ; m ; 1)$ avec $m$ appartenant à $\mathbb{R}$.

  • a) Démontrer qu'une représentation paramétrique de la droite (IM) est

    x=\dfrac{1}{2} s+\dfrac{1}{2} y=m s z=1 \end{cases} \quad \text{avec } s \in \mathbb{R}$$

  • b) Peut-on affirmer que les droites (IM) et (KC) sont coplanaires quelle que soit la valeur de $m$ ?