Exercice 1 — Logarithme népérien, Limites de fonctions

Partie A

On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]0\,;\,+\infty[$ par $g(x) = \ln \left(x^2\right) + x - 2$

• 1. Déterminer les limites de la fonction $g$ aux bornes de son ensemble de définition.

• 2. On admet que la fonction $g$ est dérivable sur l'intervalle $]0\,;\,+\infty[$. Étudier les variations de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0\,;\,+\infty[$.

• 3.

  • a) Démontrer qu'il existe un unique réel strictement positif $\alpha$ tel que $g(\alpha) = 0$.
  • b) Déterminer un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$.

• 4. En déduire le tableau de signe de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0\,;\,+\infty[$.

Partie B

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0\,;\,+\infty[$ par : $f(x) = \dfrac{x-2}{x}\ln(x).$ On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

• 1.

  • a) Déterminer la limite de la fonction $f$ en 0.
  • b) Interpréter graphiquement le résultat.

• 2. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.

• 3. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $]0\,;\,+\infty[$. Montrer que pour tout réel $x$ strictement positif, on a $f'(x)=\dfrac{g(x)}{x^2}$.

• 4. En déduire les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0\,;\,+\infty[$.

Partie C

Étudier la position relative de la courbe $\mathcal{C}_f$ et de la courbe représentative de la fonction $\ln$ sur l'intervalle $]0\,;\,+\infty[$.