Exercice 4 — Vecteurs, droites et plans, Orthogonalité et produit scalaire

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé $\left(\text{O}\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k}\right)$, on considère les points $\text{A}(-1\,;\,-3\,;\,2),\qquad \text{B}(3\,;\,-2\,;\,6)\quad \text{et}\quad \text{C}(1\,;\,2\,;\,-4).$

• 1. Démontrer que les points A, B et C définissent un plan que l'on notera $\mathcal{P}$.

• 2.

  • a) Montrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}13\\-16\\-9\end{pmatrix}$ est normal au plan $\mathcal{P}$.
  • b) Démontrer qu'une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ est $13x - 16y - 9z - 17 = 0$.

On note $\mathcal{D}$ la droite passant par le point F$(15\,;\,-16\,;\,-8)$ et orthogonale au plan $\mathcal{P}$.

• 3. Donner une représentation paramétrique de la droite $\mathcal{D}$.
• 4. On appelle E le point d'intersection de la droite $\mathcal{D}$ et du plan $\mathcal{P}$. Démontrer que le point E a pour coordonnées $(2\,;\,0\,;\,1)$.
• 5. Déterminer la valeur exacte de la distance du point F au plan $\mathcal{P}$.
• 6. Déterminer les coordonnées du ou des point(s) de la droite $\mathcal{D}$ dont la distance au plan $\mathcal{P}$ est égale à la moitié de la distance du point F au plan $\mathcal{P}$.