Exercice 1 — Dérivation, Limites de fonctions

*Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.

Pour chacune des six questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.

Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point.

Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie.

Aucune justification n'est demandée.*

• 1. On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur $]0 ; +\infty[$ par:

  $f(x) = x \ln(x) - x + 1.$

  Parmi les quatre expressions suivantes, laquelle est celle de la fonction dérivée de $f$?

  • A. **a.  ** $\ln (x)$
  • B. **b.  **$\dfrac{1}{x} - 1$
  • C. **c.  ** $\ln (x) - 2$
  • D. **d.  **$\ln (x) - 1$

• 2. On considère la fonction $g$ définie sur $]0 ; +\infty[$ par $g(x) = x^2[1 - \ln (x)]$.

  Parmi les quatre affirmations suivantes, laquelle est correcte ?

  • A. **a.  **$\displaystyle\lim_{x \to 0} g(x) = +\infty$
  • B. **b.  ** $\displaystyle\lim_{x \to 0} g(x) = - \infty$
  • C. **c.  ** $\displaystyle\lim_{x \to 0} g(x) = 0$
  • D. **d.  ** La fonction $g$ n'admet pas de limite en 0.

• 3. On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3 - 0,9x^2 -0,1x$. Le nombre de solutions de l'équation $f(x) = 0$ sur $\mathbb{R}$ est :

  • A. **a.  ** $0$
  • B. **b.  **$1$
  • C. **c.  ** $2$
  • D. **d.  **$3$

• 4. Si $H$ est une primitive d'une fonction $h$ définie et continue sur $\mathbb{R}$, et si $k$ est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $k(x) = h(2x)$, alors, une primitive $K$ de $k$ est définie sur $\mathbb{R}$ par :

  • A. **a.  ** $K(x) =H(2x)$
  • B. **b.  **$K(x) =2H(2x)$
  • C. **c.  ** $K(x) =\dfrac{1}{2}H(2x)$
  • D. **d.  **$K(x) =2H(x)$

• 5. L'équation réduite de la tangente au point d'abscisse 1 de la courbe de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x\text{e}^x$ est:

  • A. **a.  ** $y = \text{e}x + \text{e}$
  • B. **b.  **$y =2\text{e}x - \text{e}$
  • C. **c.  ** $y = 2\text{e}x + \text{e}$
  • D. **d.  **$y = \text{e}x$

• 6. Les nombres entiers $n$ solutions de l'inéquation $(0,2)^n < 0,001$ sont tous les nombres entiers $n$ tels que :

  • A. **a.  ** $n \leqslant 4$
  • B. **b.  **$n\leqslant 5$
  • C. **c.  ** $n \geqslant 4$
  • D. **d.  **$n \geqslant 5$