Exercice 4 — Représentations paramétriques et équations cartésiennes, Orthogonalité et produit scalaire

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé $\left(O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k}\right)$, on considère les points

$\text{A}(-1 ; -1 ; 3), \text{B}(1 ; 1 ; 2), \text{C}(1 ; -1 ; 7)$

On considère également la droite $\Delta$ passant par les points D$(-1 ; 6 ; 8)$ et E$(11 ; - 9 ; 2)$.

• 1.

  • a) Vérifier que la droite $\Delta$ admet pour représentation paramétrique:

    x &=& -1 + 4t \\

y &=& \phantom{-}6 - 5t \quad\text{avec}: t \in \mathbb{R} \ z &=& \phantom{-}8 - 2t \end{array}\right.$$

• b) Préciser une représentation paramétrique de la droite $\Delta'$ parallèle à $\Delta$ et passant par l'origine O du repère.

• c) Le point F$(1,36 ; -1,7 ; -0,7)$ appartient-il à la droite $\Delta'$ ?

• 2.

  • a) Montrer que les points A, B et C définissent un plan.

  • b) Montrer que la droite $\Delta$ est perpendiculaire au plan (ABC).

  • c) Montrer qu'une équation cartésienne du plan (ABC) est: $4x - 5y - 2z + 5 = 0$.

• 3.

  • a) Montrer que le point G(7 ; -4 ; 4) appartient à la droite $\Delta$.

  • b) Déterminer les coordonnées du point H, projeté orthogonal du point G sur le plan (ABC).

  • c) En déduire que la distance du point G au plan (ABC) est égale à $3\sqrt 5$.

• 4.

  • a) Montrer que le triangle ABC est rectangle en A.

  • b) Calculer le volume $V$ du tétraèdre ABCG.

    On rappelle que le volume V d'un tétraèdre est donné par la formule $V = \dfrac13 \times B \times h$ où $B$ est l'aire d'une base et $h$ la hauteur correspondant à cette base.