Exercice 3 — Logarithme népérien, Continuité et TVI

Partie A

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[1 ; +\infty[$ par

$f(x) = \dfrac{\ln x}{x},$

où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.

• 1. Donner la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.

• 2. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $[1 ; +\infty[$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.

  • a) Montrer que, pour tout nombre réel $x \geqslant 1,\:f'(x) = \frac{1 - \ln x}{x^2}$.

  • b) Justifier le tableau de signes suivant, donnant le signe de $f'(x)$ suivant les valeurs de $x$.

    (Figure : voir le sujet PDF.)

    (Figure : voir le sujet PDF.)

  • c) Dresser le tableau de variations complet de la fonction $f$.

• 3. Soit $k$ un nombre réel positif ou nul.

  • a) Montrer que, si $0 \leqslant k \leqslant \dfrac{1}{\text{e}}$, l'équation $f(x) = k$ admet une unique solution sur l'intervalle $[1 ; \text{e}]$.

  • b) Si $k > \dfrac{1}{\text{e}}$, l'équation $f(x) = k$ admet-elle des solutions sur l'intervalle $[1 ; +\infty[$ ?

    Justifier.

Partie B

Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :

$g(x) = \text{e}^{\frac{x}{4}}.$

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$ :

$u_{n+1} = \text{e}^{\frac{u_n}{4}}$ c'est-à-dire : $u_{n+1} = g\left(u_n\right)$.

• 1. Justifier que la fonction $g$ est croissante sur $\mathbb{R}$.
• 2. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant \text{e}$.
• 3. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.

On note $\ell$ la limite de la suite $\left(u_n\right)$ et on admet que $f$ est solution de l'équation :

$\text{e}^{\frac{x}{4}} = x.$

• 1. En déduire que $\ell$ est solution de l'équation $f(x) = \dfrac14$, où $f$ est la fonction étudiée dans la partie A.
• 2. Donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près de la limite $\ell$ de la suite $\left(u_n\right)$.