Exercice 3 — Logarithme népérien, Dérivation

On considère la fonction $f$ définie sur ]0 ; 8] par

$f(x) = \dfrac{10\ln \left(- x^2 + 7x + 9\right)}{x}$

Soit $C_f$ la représentation graphique de la fonction $f$ dans un repère orthonormé $\left(O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath}\right)$.

Partie A

• 1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’inéquation $- x^2 + 7x + 8 \geqslant 0$.
• 2. En déduire que pour tout $x \in ]0 ; 8]$, on a $f(x) \geqslant 0$.
• 3. Interpréter graphiquement ce résultat.

Partie B

La courbe $C_f$ est représentée ci-dessous.

Soit $M$ le point de $C_f$ d’abscisse $x$ avec $x \in ]0 ; 8]$.

On appelle $N$ et $P$ les projetés orthogonaux du point $M$ respectivement sur l’axe des abscisses et sur l’axe des ordonnées.

Dans cette partie, on s’intéresse à l’aire $\mathcal{A}(x)$ du rectangle O$NMP$.

(Figure : voir le sujet PDF.)

(Figure : voir le sujet PDF.)

• 1. Donner les coordonnées des points $N$ et $P$ en fonction de $x$.

• 2. Montrer que pour tout $x$ appartenant à l’intervalle ]0 ; 8],

  $\mathcal{A}(x) = 10 \ln \left(-x^2 + 7x + 9\right)$

• 3. Existe-t-il une position du point $M$ pour laquelle l’aire du rectangle O$NMP$ est maximale ? Si elle existe, déterminer cette position.

Partie C

On considère un réel strictement positif $k$.

On souhaite déterminer la plus petite valeur de $x$, approchée au dixième, appartenant à [3,5 ; 8] pour laquelle l’aire $\mathcal{A}(x)$ devient inférieure ou égale à $k$.

Pour ce faire, on considère l’algorithme ci-dessous.

Pour rappel, en langage Python, $\ln (x)$ s’écrit log ($x$).

1&from math import *

2&

3&def A(x) :

4&     return 10*log (- 1* x**2 + 7*x + 9)

5&    

6&def pluspetitevaleur(k) :

7&     x = 3.5

8&     while A(x).......... :

9&      x = x + 0.1

10&     return ...........

• 1. Recopier et compléter les lignes 8 et 10 de l’algorithme.
• 2. Quel nombre renvoie alors l’instruction pluspetitevaleur(30) ?
• 3. Que se passe-t-il lorsque $k = 35$ ? Justifier.