Exercice 4 — Vecteurs, droites et plans, Orthogonalité et produit scalaire

L'espace est rapporté à un repère orthonormé $\left(O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k}\right)$.

On considère les points

A$(4 ; -1 ; 3)$, B$(-1 ; 1 ; -2)$, C(0 ; 4 ; 5) et D$(-3 ; -4 ; 6)$.

• 1.

  • a) Vérifier que les points A, B, C ne sont pas alignés.

  On admet qu’une équation cartésienne du plan (ABC) est : $29x + 30y - 17z = 35$.

  • a) Les points A, B, C, D sont-ils coplanaires ? Justifier.

On admet que lorsque quatre points ne sont pas coplanaires, il existe un unique point situé à égale distance de ces quatre points.

L’objectif de cet exercice est de déterminer le point H se situant à égale distance des quatre points A, B, C, D.

On définit le plan médiateur d’un segment comme le plan passant par le milieu de ce segment et orthogonal à la droite portant ce segment. C’est l’ensemble des points équidistants des extrémités de ce segment.

• 1. Soit $P_1$ le plan médiateur du segment [AB].

  • a) Déterminer les coordonnées du milieu du segment [AB].

  • b) En déduire qu'une équation cartésienne de $P_1$ est : $5x - 2y + 5z = 10$.

• 2. On note $P_2$ le plan médiateur du segment [CD].

  • a) Soit M un point du plan $P_2$ de coordonnées $(x ; y ; z)$.

    Exprimer MC$^2$ et MD$^2$ en fonction des coordonnées de M.

    En déduire qu’une équation cartésienne du plan $P$ est : $-3x - 8y + z = 10$.

  • b) Justifier que les plans $P_1$ et $P_2$ sont sécants.

• 3. Soit $\Delta$ la droite dont une représentation paramétrique est :

  x& =& -2 - 1,9t \\

y&= &\phantom{-2 - 1,9}t \ z&= & \phantom{-}4 + 2,3t \end{array}\right.: \text{où}: t \in \mathbb{R}$$

Démontrer que $\Delta$ est la droite d’intersection de $P_1$ et $P_2$.

On note $P_3$ le plan médiateur du segment [AC].

On admet qu'une équation cartésienne du plan $P_3$ est : $8x - 10y - 4z= - 15.$

• 1. Démontrer que la droite $\Delta$ et le plan $P_3$ sont sécants.
• 2. Justifier que le point d’intersection entre $\Delta$ et $P_3$ est le point H.