Exercice 1 — Fonction exponentielle, Dérivation et convexité

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = \dfrac{1}{1 + \text{e}^{-3x}}.$ On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan.

On nomme A le point de coordonnées $\left(0\,;\,\dfrac12\right)$ et B le point de coordonnées $\left(1\,;\,\dfrac54\right)$.

On a tracé la courbe $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{T}$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $0$ (voir la figure dans le sujet PDF).

Partie A : lectures graphiques

Dans cette partie, les résultats seront obtenus par lecture graphique. Aucune justification n'est demandée.

• 1. Déterminer l'équation réduite de la tangente $\mathcal{T}$.
• 2. Donner les intervalles sur lesquels la fonction $f$ semble convexe ou concave.

Partie B : étude de la fonction

• 1. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$. Déterminer l'expression de sa fonction dérivée $f'$.

• 2. Justifier que la fonction $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

• 3.

  • a) Déterminer la limite en $+\infty$ de la fonction $f$.
  • b) Déterminer la limite en $-\infty$ de la fonction $f$.

• 4. Déterminer la valeur exacte de la solution $\alpha$ de l'équation $f(x) = 0,99$.

Partie C : tangente et convexité

• 1. Déterminer par le calcul une équation de la tangente $\mathcal{T}$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $0$.

On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$. On note $f''$ la fonction dérivée seconde de la fonction $f$. On admet que $f''$ est définie sur $\mathbb{R}$ par : $f''(x) = \dfrac{9\text{e}^{-3x}\left(\text{e}^{-3x} - 1\right)}{\left(1 + \text{e}^{-3x}\right)^3}.$

• 2. Étudier le signe de la fonction $f''$ sur $\mathbb{R}$.

• 3.

  • a) Indiquer, en justifiant, sur quel(s) intervalle(s) la fonction $f$ est convexe.
  • b) Que représente le point A pour la courbe $\mathcal{C}_f$ ?
  • c) En déduire la position relative de la tangente $\mathcal{T}$ et de la courbe $\mathcal{C}_f$. Justifier la réponse.