Exercice 1 — Vecteurs, droites et plans, Distances, projetés, aires et volumes

On considère le cube ABCDEFGH d'arête 1 représenté ci-contre.

On note K le milieu du segment [HG].

On se place dans le repère orthonormé $\left(\text{A} ; \overrightarrow{\text{AD}}, \overrightarrow{\text{AB}}, \overrightarrow{\text{AE}}\right)$.

• 1. Justifier que les points C, F et K définissent un plan.

• 2.

  • a) Donner, sans justifier, les longueurs KG, GF et GC.

  • b) Calculer l'aire du triangle FGC.

  • c) Calculer le volume du tétraèdre FGCK.

(Figure : voir le sujet PDF.)

(Figure : voir le sujet PDF.)

On rappelle que le volume $V$ d'un tétraèdre est donné par:

$V = \dfrac13\mathcal{B} \times h,$

où $\mathcal{B}$ est l'aire d'une base et $h$ la hauteur correspondante.

• 1.

  • a) On note $\overrightarrow{n}$ le vecteur de coordonnées $\begin{pmatrix}1

    2

    1\end{pmatrix}$.

    Démontrer que $\overrightarrow{n}$ est normal au plan (CFK).

  • b) En déduire qu'une équation cartésienne du plan (CFK) est:

    $x + 2y + z - 3 = 0.$

• 2. On note $\Delta$ la droite passant par le point G et orthogonale au plan (CFK).

  Démontrer qu'une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ est:

  x&=&1 + t \\

y&=&1 + 2t \ z&=&1 + t \end{array}\right. \quad (t \in \mathbb{R}))$$

• 3. Soit L le point d'intersection entre la droite $\Delta$ et le plan (CFK).

  • a) Déterminer les coordonnées du point L.

  • b) En déduire que LG $= \dfrac{\sqrt 6}{6}$.

• 4. En utilisant la question 2., déterminer la valeur exacte de l'aire du triangle CFK.