Exercice 2 — Orthogonalité et produit scalaire, Représentations paramétriques et équations cartésiennes

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé $\left(O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k}\right)$, on considère les points :

A$(4 ; -4 ; 4)$, B$(5 ; -3 ; 2)$, C$(6 ; - 2; ; 3)$, D(5 ; 1 ; 1)

• 1. Démontrer que le triangle ABC est rectangle en $B$.

• 2. Justifier qu’une équation cartésienne du plan (ABC) est :

  $x - y - 8 = 0.$

• 3. On note $d$ la droite passant par le point $D$ et orthogonale au plan (ABC).

  • a) Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d$.

  • b) On note H le projeté orthogonal du point $D$ sur le plan $(ABC)$.

    Déterminer les coordonnées du point H.

  • c) Montrer que DH $= 2\sqrt 2$.

• 4.

  • a) Montrer que le volume de la pyramide ABCD est égal à $2$.

    On rappelle que le volume V d'une pyramide se calcule à l'aide de la formule :

    $V = \dfrac13 \times \mathcal{B} \times h$

    où $\mathcal{B}$ est l'aire d'une base de la pyramide et $h$ la hauteur correspondante.

  • b) On admet que l'aire du triangle BCD est égale à $\dfrac{\sqrt{42}}{2}$.

    En déduire la valeur exacte de la distance du point A au plan (BCD).