Exercice 3 — Suites définies par une fonction (uₙ₊₁ = f(uₙ))

2022 · Polynésie · Terminale · Spé Maths

Code épreuve : 22-MATJ2PO1

Term. Spé Maths — Analyse (Suites)Suites définies par une fonction (uₙ₊₁ = f(uₙ))

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Exercice 3 — Bac Maths 2022 — Polynésie — Jour 2 — Énoncé

Énoncé de l'exercice 3 — Bac Maths 2022 Polynésie

Au début de l'année 2021, une colonie d'oiseaux comptait $40$ individus. L'observation conduit à modéliser l'évolution de la population par la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par:

u_0&=&40 \\ u_{n+1}&=&0,008u_n\left(200 - u_n\right) \end{array}\right.$$ où $u_n$ désigne le nombre d'individus au début de l'année $(2021+n)$. - **1.** Donner une estimation, selon ce modèle, du nombre d'oiseaux dans la colonie au début de l'année 2022. On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0 ; 100] par $f(x) = 0,008x(200 - x)$. - **1.** Résoudre dans l'intervalle [0 ; 100] l'équation $f(x) = x$. - **2.** - **a)** Démontrer que la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle [0 ; 100] et dresser son tableau de variations. - **b)** En remarquant que, pour tout entier naturel $n$,\, $u_{n+1} = f\left(u_n\right)$ démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ : $$0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 100.$$ - **c)** En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente. - **d)** Déterminer la limite $\ell$ de la suite $\left(u_n\right)$. Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice. - **3.** On considère l'algorithme suivant: ```python def seuil(p) : n=0 u = 40 while u < p : n =n+1 u = 0.008*u*(200-u) return(n+2021) ``` L'exécution de seuil(100) ne renvoie aucune valeur. Expliquer pourquoi à l'aide de la question 3.

À propos de l'exercice 3 du Bac Maths 2022 — Polynésie

Exercice 3 de l'épreuve de spécialité mathématiques du baccalauréat 2022, session Polynésie — Spé Maths. Il porte sur : Suites définies par une fonction (uₙ₊₁ = f(uₙ)). L'énoncé et la correction détaillée sont disponibles gratuitement ci-dessus.

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