Exercice 4 — Orthogonalité et produit scalaire, Représentations paramétriques et équations cartésiennes

On considère le cube ABCDEFGH d'arête de longueur 1.

L'espace est muni du repère orthonormé $\left(\text{A} ;\, \overrightarrow{\text{AB}}, \overrightarrow{\text{AD}}, \overrightarrow{\text{AE}}\right)$. Le point I est le milieu du segment [EF], K le centre du carré ADHE et O le milieu du segment [AG].

(Figure : voir le sujet PDF.)

(Figure : voir le sujet PDF.)

Le but de l'exercice est de calculer de deux manières différentes, la distance du point B au plan (AIG).

Partie 1. Première méthode

• 1. Donner, sans justification, les coordonnées des points A, B, et G.

  On admet que les points I et K ont pour coordonnées I$\left(\dfrac{1}{2} ; 0 ; 1\right)$ et K$\left(0 ; \dfrac{1}{2} ; \dfrac{1}{2}\right)$.

• 2. Démontrer que la droite (BK) est orthogonale au plan (AIG).

• 3. Vérifier qu'une équation cartésienne du plan (AIG) est : $2x - y - z = 0$.

• 4. Donner une représentation paramétrique de la droite (BK).

• 5. En déduire que le projeté orthogonal L du point B sur le plan (AIG) a pour coordonnées L$\left(\dfrac{1}{3} ; \dfrac{1}{3} ; \dfrac{1}{3}\right)$.

• 6. Déterminer la distance du point B au plan (AIG).

Partie 2. Deuxième méthode

On rappelle que le volume $V$ d'une pyramide est donné par la formule $V = \dfrac{1}{3} \times b \times h$, où $b$ est l'aire d'une base et $h$ la hauteur associée à cette base.

• 1.

  • a) Justifier que dans le tétraèdre ABIG, [GF] est la hauteur relative à la base AIB.

  • b) En déduire le volume du tétraèdre ABIG.

• 2. On admet que AI = IG $= \dfrac{\sqrt{5}}{2}$ et que AG $= \sqrt 3$.

  Démontrer que l'aire du triangle isocèle AIG est égale à $\dfrac{\sqrt{6}}{4}$ unité d'aire.

• 3. En déduire la distance du point B au plan (AIG).