Exercice 3 — Dérivation et convexité, Limites de fonctions

Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment

Partie A

Le plan est ramené à un repère orthogonal.

On a représenté ci-dessous la courbe d'une fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$, ainsi que celle de sa dérivée $f'$ et de sa dérivée seconde $f''$.

(Figure : voir le sujet PDF.)

(Figure : voir le sujet PDF.)

• 1. Déterminer, en justifiant votre choix, quelle courbe correspond à quelle fonction.
• 2. Déterminer, avec la précision permise par le graphique, le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_2$ au point d'abscisse 4.
• 3. Donner avec la précision permise par le graphique, l'abscisse de chaque point d'inflexion de la courbe $\mathcal{C}_1$.

Partie B

Soit un réel $k$ strictement positif.

On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par:

$g(x) = \dfrac{4}{1 + \text{e}^{- kx}}.$

• 1. Déterminer les limites de $g$ en $+ \infty$ et en $-\infty$,

• 2. Prouver que $g'(0) = k$.

• 3. En admettant le résultat ci-dessous obtenu avec un logiciel de calcul formel, prouver que la courbe de $g$ admet un point d'inflexion au point d'abscisse 0.

  (Tableau : voir le sujet PDF.)