Exercice 2 — Vecteurs, droites et plans, Représentations paramétriques et équations cartésiennes

2023 · Polynésie · Terminale · Spé Maths

Code épreuve : 23-MATJ2PO1

Term. Spé Maths — Géométrie dans l'espace Vecteurs, droites et plans Représentations paramétriques et équations cartésiennes Distances, projetés, aires et volumes Orthogonalité et produit scalaire

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Exercice 2 — Bac Maths 2023 — Polynésie — Jour 2 — Énoncé

Énoncé de l'exercice 2 — Bac Maths 2023 Polynésie

L'espace est muni d'un repère orthonormé $\left(O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k}\right)$ .

On considère :

le point A $(1 ; -1 ; -1)$ ;
le plan $\mathcal{P}_1$ , d'équation : $5x +2y + 4z= 17$ ;
le plan $\mathcal{P}_2$ d'équation : $10x+ 14y + 3z = 19$ ;
la droite $\mathcal{D}$ de représentation paramétrique :

x &=& 1+2t \\ y &=& - t \\ z&=&3-2t \end{array}\right. \quad \text{où } \:t \:\text{décrit } \mathbb{R}.$$ - **1.** Justifier que les plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ ne sont pas parallèles. - **2.** Démontrer que $\mathcal{D}$ est la droite d'intersection de $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$. - **3.** - **a)** Vérifier que A n'appartient pas à $\mathcal{P}_1$. - **b)** Justifier que A n'appartient pas à $\mathcal{D}$. - **4.** Pour tout réel $t$, on note $M$ le point de $\mathcal{D}$ de coordonnées $(1 +2t ; -t ; 3 - 2t)$. On considère alors la fonction $f$ qui à tout réel $t$ associe A$M^2$, soit $f(t) = \text{A}M^2$. - **a)** Démontrer que pour tout réel $t$, on a: $f(t) = 9t^2 - 18t + 17$. - **b)** Démontrer que la distance AM est minimale lorsque $M$ a pour coordonnées $(3 ; -1 ; 1)$. - **5.** On note H le point de coordonnées $(3 ; -1 ; 1)$. Démontrer que la droite (AH) est perpendiculaire à $\mathcal{D}$.

À propos de l'exercice 2 du Bac Maths 2023 — Polynésie

Exercice 2 de l'épreuve de spécialité mathématiques du baccalauréat 2023, session Polynésie — Spé Maths. Il porte sur : Vecteurs, droites et plans, Représentations paramétriques et équations cartésiennes, Distances, projetés, aires et volumes, Orthogonalité et produit scalaire. L'énoncé et la correction détaillée sont disponibles gratuitement ci-dessus.

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