Exercice 3 — Vecteurs, droites et plans, Orthogonalité et produit scalaire

Dans l'espace muni d'un repère orthonormal $\left(O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k}\right)$, on considère les points :

  A$(-1 ; 1 ; 1)$, B$(1 ; -6 ; -1)$ et C$(-5 ; 2 ; 3)$. 

• 1.

  • a) Démontrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.

  • b) Démontrer que le vecteur $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 6

    -2

    13 \end{pmatrix}$ est normal au plan (ABC).

  • c) En déduire que le plan (ABC) admet pour équation cartésienne :

    $6x - 2y + 13z - 5 = 0.$

• 2. On considère le plan $(P)$ d'équation cartésienne $8x - 2y - 4z + 18 = 0$.

  On admet que deux plans sont perpendiculaires si leurs vecteurs normaux respectifs sont orthogonaux.

  Démontrer que les plans (ABC) et $(P)$ sont perpendiculaires.

• 3. Soit $(d)$ une droite dont une représentation paramétrique est :

  x = -4 + t y = -11 + 6t z = 2 - t \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R}.$$ Démontrer que la droite $(d)$ intersecte le plan (ABC) en un unique point qu'on nommera E, et qui a pour coordonnées E$(-3 ; -5 ; 1)$.

• 4. Soit H$(-2 ; 1 ; 0)$.

  • a) Montrer que H est le projeté orthogonal de A sur $(d)$.

  • b) En déduire la distance du point A à la droite $(d)$.

  • c) Montrer que le triangle AHE est rectangle et que son aire est égale à $\sqrt{19}$ unités d'aire.