Exercice 2 — Calcul intégral (aires, IPP, suites d'intégrales), Probabilités conditionnelles et arbres

Dans le repère orthonormé (O ; I, J) ci-contre, on a représenté :

• la droite d'équation $y = x$;
• la droite d'équation $y = 1$;
• la droite d'équation $x = 1$;
• la parabole d'équation $y = x^2$.

On peut ainsi partager le carré OIKJ en trois zones.

(Figure : voir le sujet PDF.)

(Figure : voir le sujet PDF.)

Les parties B et C peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre

Partie A

Démontrer les résultats figurant dans le tableau ci-dessous.

(Tableau : voir le sujet PDF.)

Partie B : un premier jeu

Un joueur lance une fléchette sur le carré ci-dessus. On admet que la probabilité qu'elle tombe sur une zone est égale à l'aire de cette zone. Ainsi, la probabilité que la fléchette tombe sur la ZONE 3 est égale à $\dfrac{1}{6}$.

• Si la fléchette tombe sur la ZONE 3, alors le joueur lance une pièce équilibrée.

Si la pièce tombe sur PILE, alors le joueur gagne, sinon il perd.

• Si la fléchette tombe sur une autre zone que la ZONE 3, alors le joueur lance un dé équilibré à six faces. Si le dé tombe sur la FACE 6, alors le joueur gagne, sinon il perd.

On note les évènements suivants :

• $T$ : « la fléchette tombe sur la ZONE 3 » ;

• $G$ : « le joueur gagne ».

• 1. Représenter la situation par un arbre pondéré.

• 2. Démontrer que la probabilité de l'évènement $G$ est égale à $\dfrac{2}{9}$.

• 3. On sait que le joueur a gagné. Quelle est la probabilité que la fléchette soit tombée sur la ZONE 3 ?

Partie C : un second jeu

Un joueur, appelé joueur $\text{n}^\circ\,1$, lance une fléchette sur le carré précédent. Comme dans la partie B, on admet que la probabilité que la fléchette tombe sur chacune des zones est égale à l'aire de cette zone.

Le joueur gagne une somme égale, en euros, au numéro de la zone. Par exemple, si la fléchette tombe sur la ZONE 3, le joueur gagne 3 euros.

On note $X_{1}$ la variable aléatoire donnant le gain du joueur $\text{n}^\circ\,1$.

On note respectivement $E(X_{1})$ et $V(X_{1})$ l'espérance et la variance de la variable aléatoire $X_{1}$.

• 1.

  • a) Calculer $E(X_{1})$.

  • b) Montrer que $V(X_{1}) = \dfrac{5}{9}$.

• 2. Un joueur $\text{n}^\circ\,2$ et un joueur $\text{n}^\circ\,3$ jouent à leur tour, dans les mêmes conditions que le joueur $\text{n}^\circ\,1$. On admet que les parties de ces trois joueurs sont indépendantes les unes des autres.

  On note $X_{2}$ et $X_{3}$ les variables aléatoires donnant les gains des joueurs $\text{n}^\circ\,2$ et $\text{n}^\circ\,3$. On note $Y$ la variable aléatoire définie par $Y = X_{1} + X_{2} + X_{3}$.

  • a) Déterminer la probabilité que l'on ait $Y = 9$.

  • b) Calculer $E(Y)$.

  • c) Justifier que $V(Y) = \dfrac{5}{3}$.