Exercice 4 — Distances, projetés, aires et volumes, Représentations paramétriques et équations cartésiennes

On modélise un passage de spectacle de voltige aérienne en duo de la manière suivante :

• on se place dans un repère orthonormé $\left(\text{O}\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k}\right)$, une unité représentant un mètre ;
• l'avion n° 1 doit relier le point O au point $\text{A}(0\,;\,200\,;\,0)$ selon une trajectoire rectiligne, à la vitesse constante de $200$ m/s ;
• l'avion n° 2 doit, quant à lui, relier le point $\text{B}(-33\,;\,75\,;\,44)$ au point $\text{C}(87\,;\,75\,;\,-116)$ également selon une trajectoire rectiligne, et à la vitesse constante de $200$ m/s ;
• au même instant, l'avion n° 1 est au point O et l'avion n° 2 est au point B.

(voir la figure dans le sujet PDF)

• 1. Justifier que l'avion n° 2 mettra autant de temps à parcourir le segment [BC] que l'avion n° 1 à parcourir le segment [OA].
• 2. Montrer que les trajectoires des deux avions se coupent.
• 3. Les deux avions risquent-ils de se percuter lors de ce passage ?