Exercice 3 — Calcul intégral (aires, IPP, suites d'intégrales), Limites de fonctions

Un organisme certificateur est missionné pour évaluer deux appareils de chauffage, l'un d'une marque A et l'autre d'une marque B.

Les parties 1, 2 et 3 sont à traiter dans l'ordre ; les parties 1 et 2 sont indépendantes.

Partie 1 : appareil de la marque A

À l'aide d'une sonde, on a mesuré la température à l'intérieur du foyer d'un appareil de la marque A. On a représenté la courbe de la température en degrés Celsius à l'intérieur du foyer en fonction du temps écoulé, exprimé en minutes, depuis l'allumage du foyer. (voir la figure dans le sujet PDF)

Par lecture graphique :

• 1. Donner le temps au bout duquel la température maximale est atteinte à l'intérieur du foyer.
• 2. Donner une valeur approchée, en minutes, de la durée pendant laquelle la température à l'intérieur du foyer dépasse $300$ °C.
• 3. On note $f$ la fonction représentée sur le graphique. Estimer la valeur de $\displaystyle\dfrac{1}{600}\int_0^{600} f(t)\,\text{d}t$. Interpréter le résultat.

Partie 2 : étude d'une fonction

Soit la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[0\,;\,+\infty[$ par $g(t) = 10t\,\text{e}^{-0{,}01t} + 20$.

• 1. Déterminer la limite de $g$ en $+\infty$.
• 2.
  • a) Montrer que pour tout $t \in [0\,;\,+\infty[$, $g'(t) = (-0{,}1t + 10)\,\text{e}^{-0{,}01t}$.
  • b) Étudier les variations de la fonction $g$ sur $[0\,;\,+\infty[$ et construire son tableau de variations.
• 3. Démontrer que l'équation $g(t) = 300$ admet exactement deux solutions distinctes sur $[0\,;\,+\infty[$. En donner des valeurs approchées à l'unité.
• 4. À l'aide d'une intégration par parties, calculer $\displaystyle\int_0^{600} g(t)\,\text{d}t$.

Partie 3 : évaluation

Pour un appareil de la marque B, la température en degrés Celsius à l'intérieur du foyer $t$ minutes après l'allumage est modélisée sur $[0\,;\,600]$ par la fonction $g$.

L'organisme certificateur attribue une étoile par critère validé parmi les quatre suivants :

• Critère 1 : la température maximale est supérieure à $320$ °C.
• Critère 2 : la température maximale est atteinte en moins de 2 heures.
• Critère 3 : la température moyenne durant les 10 premières heures après l'allumage dépasse $250$ °C.
• Critère 4 : la température à l'intérieur du foyer ne doit pas dépasser $300$ °C pendant plus de 5 heures.

Chaque appareil obtient-il exactement trois étoiles ? Justifier votre réponse.