Exercice 2 — Suites définies par une fonction (uₙ₊₁ = f(uₙ)), Logarithme népérien

Partie A

On considère la fonction $f$ définie par : $f(x) = x - \ln (1 + x).$

• 1. Justifier que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle $]-1\,;\,+\infty[$.

• 2. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $]-1\,;\,+\infty[$. Déterminer l'expression de sa fonction dérivée $f'(x)$.

• 3.

  • a) En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $]-1\,;\,+\infty[$.
  • b) En déduire le signe de la fonction $f$ sur l'intervalle $]-1\,;\,0[$.

• 4.

  • a) Montrer que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $]-1\,;\,+\infty[$, on a : $f(x) = \ln \left(\dfrac{\text{e}^x}{1 + x}\right)$.
  • b) En déduire la limite en $+\infty$ de la fonction $f$.

Partie B

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 10$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = u_n - \ln \left(1 + u_n\right).$ On admet que la suite $\left(u_n\right)$ est bien définie.

• 1. Donner la valeur arrondie au millième de $u_1$.
• 2. En utilisant la question 3. a. de la partie A, démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n \geqslant 0$.
• 3. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
• 4. Déduire des questions précédentes que la suite $\left(u_n\right)$ converge.
• 5. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.