Exercice 4 — Limites de fonctions, Primitives

*Cet exercice est un questionnaire à choix multiple.

Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la réponse choisie.

Aucune justification n'est demandée.

Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point.*

Les six questions sont indépendantes

• 1. La courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \dfrac{-2x^2 + 3x - 1}{x^2 + 1}$ admet pour asymptote la droite d'équation:

  (Tableau : voir le sujet PDF.)

• 2. Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x\text{e}^{x^2}$.

  La primitive $F$ de $f$ sur $\mathbb{R}$ qui vérifie $F(0) = 1$ est définie par :

  (Tableau : voir le sujet PDF.)

• 3.  

  On donne ci-contre la représentation graphique $\mathcal{C}_{f'}$ de **la fonction dérivée ** $f'$d'une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$.

  On peut affirmer que la fonction $f$ est :

  **a.  ** concave sur $]0 ; +\infty[$ ;

  **b.  ** convexe sur $]0 ; +\infty[$ ;

  **c.  ** convexe sur [0 ; 2] ;

  **d.  ** convexe sur $[2 ; +\infty[$.

  (Figure : voir le sujet PDF.)

  (Figure : voir le sujet PDF.)

• 4. Parmi les primitives de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 3\text{e}^{-x^2} + 2$ :

  (Tableau : voir le sujet PDF.)

• 5. La limite en $+\infty$ de la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$ par $f(x) = \dfrac{2\ln x}{3x^2 + 1}$ est égale à :

  • A. **a.  ** $\dfrac23$ ;
  • B. **b.  ** $+ \infty$ ;
  • C. **c.  ** $- \infty$ ;
  • D. **d.  ** $0$.

• 6. L'équation $\text{e}^{2x} + \text{e}^x - 12 = 0$ admet dans $\mathbb{R}$ :

  • A. **a.  ** trois solutions;
  • B. **b.  ** deux solutions;
  • C. **c.  ** une seule solution;
  • D. **d.  ** aucune solution.