VECTEURS, DROITES ET PLANS (dans l'espace)

Terminale · Spécialité Mathématiques · Thème : Géométrie dans l'espace

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Place dans le programme et prérequis

Ce chapitre est le chapitre-socle de la géométrie dans l'espace : il pose les objets (points, vecteurs, droites, plans) et leurs relations (colinéarité, coplanarité, positions relatives). Tous les autres chapitres de géométrie (représentations paramétriques, produit scalaire, distances, volumes) reposent dessus.

Prérequis indispensables :

• Vecteurs dans le plan (première et seconde)
• Repérage dans le plan et dans l'espace
• Manipulation des systèmes linéaires 2×2 et 3×3

Chapitre débouchant sur : Représentations paramétriques et équations cartésiennes, Orthogonalité et produit scalaire, Distances, projetés, aires et volumes.

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1. Notions clés

1.1 Repère orthonormé de l'espace

Un repère orthonormé de l'espace est la donnée d'un point $O$ (origine) et de trois vecteurs $\vec{\imath}$, $\vec{\jmath}$, $\vec{k}$ deux à deux orthogonaux et de même norme 1.

Notation : $(O\,;\vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k})$.

Tout point $M$ de l'espace admet des coordonnées uniques $(x\,;y\,;z)$ dans ce repère telles que : $\overrightarrow{OM} = x\,\vec{\imath} + y\,\vec{\jmath} + z\,\vec{k}$

1.2 Vecteur de l'espace

Un vecteur $\vec{u}$ de l'espace admet des coordonnées uniques $(x_u\,;y_u\,;z_u)$ dans la base $(\vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k})$ : $\vec{u} = x_u\,\vec{\imath} + y_u\,\vec{\jmath} + z_u\,\vec{k}$

Coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ avec $A(x_A\,;y_A\,;z_A)$ et $B(x_B\,;y_B\,;z_B)$ : $\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \\ z_B - z_A \end{pmatrix}$

⚠ Ordre : $\overrightarrow{AB}$ = coordonnées de B moins A, pas l'inverse.

1.3 Colinéarité

Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires s'il existe un réel $\lambda$ tel que $\vec{v} = \lambda\,\vec{u}$ (ou l'un des deux est le vecteur nul).

Interprétation : ils ont la même direction.

1.4 Coplanarité

Trois vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{w}$ sont coplanaires s'ils appartiennent (en tant que vecteurs de position à partir d'un même point) à un même plan.

Caractérisation : si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires, alors $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ sont coplanaires si et seulement si il existe deux réels $\alpha, \beta$ tels que : $\vec{w} = \alpha\,\vec{u} + \beta\,\vec{v}$

$\vec{w}$ est alors une combinaison linéaire de $\vec{u}$ et $\vec{v}$.

1.5 Droite et plan

Droite définie par un point $A$ et un vecteur directeur $\vec{u}$ (non nul) : $(D) = \{M \in \text{espace} \; | \; \overrightarrow{AM} = t\,\vec{u},\; t \in \mathbb{R}\}$

Plan défini par un point $A$ et deux vecteurs directeurs $\vec{u}, \vec{v}$ (non colinéaires) : $(P) = \{M \in \text{espace} \; | \; \overrightarrow{AM} = t\,\vec{u} + s\,\vec{v},\; t, s \in \mathbb{R}\}$

Alternative — plan par 3 points non alignés $A, B, C$ : vecteurs directeurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.

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2. Formulaire — théorèmes et propriétés

T1 — Coordonnées d'un vecteur $\overrightarrow{AB}$

$\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \\ z_B - z_A \end{pmatrix}$

T2 — Opérations sur les vecteurs

$\vec{u} + \vec{v} = \begin{pmatrix} x_u + x_v \\ y_u + y_v \\ z_u + z_v \end{pmatrix} \qquad \lambda\,\vec{u} = \begin{pmatrix} \lambda x_u \\ \lambda y_u \\ \lambda z_u \end{pmatrix}$

T3 — Norme (longueur) d'un vecteur

$\|\vec{u}\| = \sqrt{x_u^2 + y_u^2 + z_u^2}$

Distance entre deux points $A$ et $B$ : $AB = \|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}$

T4 — Colinéarité (deux vecteurs)

$\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si et seulement si il existe $\lambda \in \mathbb{R}$ tel que : $\vec{v} = \lambda\,\vec{u}$

En pratique : vérifier que les coordonnées de $\vec{v}$ sont proportionnelles à celles de $\vec{u}$ (avec le même $\lambda$).

Attention aux coordonnées nulles : si $x_u = 0$, il faut $x_v = 0$ aussi (sinon les vecteurs ne sont pas colinéaires) — la vérification se fait alors sur les autres composantes.

T5 — Coplanarité (trois vecteurs)

$\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ sont coplanaires si et seulement si il existe $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ tels que : $\vec{w} = \alpha\,\vec{u} + \beta\,\vec{v}$

En pratique : résoudre le système à 3 équations (une par coordonnée) et 2 inconnues $\alpha, \beta$. S'il admet une solution, coplanarité ✓. Sinon, non-coplanarité.

T6 — Alignement de trois points

Trois points $A, B, C$ sont alignés si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.

T7 — Points coplanaires (4 points)

Quatre points $A, B, C, D$ sont coplanaires si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}$ sont coplanaires.

T8 — Positions relatives de deux droites

Deux droites $(D_1)$ et $(D_2)$ dans l'espace peuvent être :

• Coplanaires et sécantes : elles se coupent en un unique point.
• Coplanaires et parallèles distinctes : vecteurs directeurs colinéaires, aucun point commun.
• Coplanaires et confondues : mêmes points.
• Non coplanaires : elles ne se coupent pas et ne sont pas parallèles (situation propre à l'espace).

T9 — Positions relatives d'une droite et d'un plan

Une droite $(D)$ (de vecteur directeur $\vec{u}$) et un plan $(P)$ (de vecteurs directeurs $\vec{v}, \vec{w}$) peuvent être :

• Sécants en un unique point.
• Parallèles : $\vec{u}$ est coplanaire à $\vec{v}$ et $\vec{w}$, mais la droite ne rencontre pas le plan.
• La droite est incluse dans le plan.

T10 — Positions relatives de deux plans

Deux plans dans l'espace peuvent être :

• Sécants selon une droite.
• Parallèles distincts.
• Confondus.

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3. Méthodes types au bac

M1 — Calculer les coordonnées d'un vecteur $\overrightarrow{AB}$

Démarche. Appliquer $\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \\ z_B - z_A \end{pmatrix}$.

Exemple. $A(1\,;-2\,;3)$, $B(4\,;0\,;-1)$.

$\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 4 - 1 \\ 0 - (-2) \\ -1 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix}$

Où c'est tombé : systématique. Toutes les sessions.

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M2 — Vérifier la colinéarité de deux vecteurs

Démarche. Chercher $\lambda \in \mathbb{R}$ tel que $\vec{v} = \lambda\,\vec{u}$.

Exemple. $\vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 6 \end{pmatrix}$, $\vec{v} = \begin{pmatrix} -3 \\ 6 \\ -9 \end{pmatrix}$.

On a $-3 = -\dfrac{3}{2} \times 2$, $6 = -\dfrac{3}{2} \times (-4)$, $-9 = -\dfrac{3}{2} \times 6$. Donc $\vec{v} = -\dfrac{3}{2}\,\vec{u}$ : colinéaires.

Rédaction canonique.

On observe que $\vec{v} = -\dfrac{3}{2}\,\vec{u}$, donc les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires.

Où c'est tombé : systématique.

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M3 — Vérifier l'alignement de trois points

Démarche. Calculer $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$, vérifier leur colinéarité (M2).

Exemple. $A(1\,;0\,;-1)$, $B(2\,;3\,;1)$, $C(4\,;9\,;5)$.

$\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} 3 \\ 9 \\ 6 \end{pmatrix}$. On a $\overrightarrow{AC} = 3\,\overrightarrow{AB}$, donc $A, B, C$ sont alignés.

Où c'est tombé : régulier en QCM. Métropole 2022, Polynésie 2023, Antilles 2024.

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M4 — Vérifier la coplanarité de 3 vecteurs (ou de 4 points)

Démarche. Résoudre le système $\vec{w} = \alpha\,\vec{u} + \beta\,\vec{v}$ (3 équations, 2 inconnues).

• Si le système admet une solution : coplanarité ✓.
• Si aucune solution : non-coplanarité (les 3 vecteurs sont linéairement indépendants).

Exemple. $\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$, $\vec{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$, $\vec{w} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}$.

Chercher $\alpha, \beta$ tels que $\vec{w} = \alpha\,\vec{u} + \beta\,\vec{v}$.

Système : $\begin{cases} \alpha = 2 \\ \beta = 3 \\ \alpha + \beta = 5 \end{cases}$

Les deux premières équations donnent $\alpha = 2$ et $\beta = 3$. Vérification : $\alpha + \beta = 5$ ✓. Donc $\vec{w} = 2\,\vec{u} + 3\,\vec{v}$ : les trois vecteurs sont coplanaires.

Où c'est tombé : Métropole 2022, sept. 2023, Polynésie 2024, Amérique du Nord 2024.

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M5 — Écrire un vecteur comme combinaison linéaire

Type d'énoncé : « Exprimer $\overrightarrow{AB}$ en fonction de $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AD}$. »

Démarche. Poser un système comme en M4 et résoudre pour trouver les coefficients.

Où c'est tombé : régulier. Métropole 2022, Polynésie 2023.

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M6 — Vérifier l'appartenance d'un point à une droite ou à un plan

Droite. Le point $M$ appartient à la droite $(D)$ passant par $A$ et de vecteur directeur $\vec{u}$ si et seulement si $\overrightarrow{AM}$ est colinéaire à $\vec{u}$.

Plan. Le point $M$ appartient au plan $(P)$ passant par $A$ et de vecteurs directeurs $\vec{u}, \vec{v}$ si et seulement si $\overrightarrow{AM}, \vec{u}, \vec{v}$ sont coplanaires — c'est-à-dire si $\overrightarrow{AM}$ est combinaison linéaire de $\vec{u}$ et $\vec{v}$.

Où c'est tombé : systématique. Métropole 2022, sept. 2023, Polynésie 2024.

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M7 — Position relative de deux droites

Démarche.

1. Comparer les vecteurs directeurs $\vec{u_1}, \vec{u_2}$.
2. Cas 1 : $\vec{u_1}$ et $\vec{u_2}$ colinéaires → droites parallèles (ou confondues).
   • Vérifier si un point de $(D_1)$ appartient à $(D_2)$ : si oui, confondues ; sinon, parallèles distinctes.
3. Cas 2 : $\vec{u_1}$ et $\vec{u_2}$ non colinéaires → droites sécantes ou non coplanaires.
   • Résoudre le système d'équations : si solution → sécantes ; sinon → non coplanaires.

Où c'est tombé : régulier. Métropole 2022, Polynésie 2023.

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M8 — Milieu d'un segment, barycentre

Milieu $I$ de $[AB]$ : $I = \left(\dfrac{x_A + x_B}{2}\,;\dfrac{y_A + y_B}{2}\,;\dfrac{z_A + z_B}{2}\right)$

Centre de gravité $G$ de $[ABC]$ : $G = \left(\dfrac{x_A + x_B + x_C}{3}\,;\dfrac{y_A + y_B + y_C}{3}\,;\dfrac{z_A + z_B + z_C}{3}\right)$

Où c'est tombé : régulier en question courte.

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4. Analyse fréquentielle

• Les vecteurs, droites et plans dans l'espace apparaissent dans 100 % des sujets contenant de la géométrie — c'est-à-dire environ 60 % des sujets de bac spécialité maths.
• Format le plus fréquent : exercice complet de géométrie en 5 à 7 questions, noté 5 à 7 points, où :
  1. Calcul de coordonnées de vecteurs (M1)
  2. Vérification de colinéarité, alignement, coplanarité (M2, M3, M4)
  3. Détermination d'une équation de droite ou de plan (voir fiche Représentations paramétriques)
  4. Étude de positions relatives (M7)
  5. Éventuellement : produit scalaire, orthogonalité (voir fiches suivantes)
• QCM classique : identification d'un vecteur directeur, colinéarité, appartenance d'un point à une droite ou à un plan.
• Combinaison linéaire (M5) : régulière quand l'exercice utilise une base autre que $(\vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k})$.
• Position relative de deux droites (M7) : régulier en QCM.

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5. Erreurs fréquentes

1. Ordre inversé dans $\overrightarrow{AB}$ : c'est $B - A$, pas $A - B$. Erreur classique.
2. Confondre colinéarité (2 vecteurs) et coplanarité (3 vecteurs) : deux vecteurs sont toujours coplanaires (ils définissent un plan) ; la coplanarité concerne 3 vecteurs ou plus.
3. Utiliser la colinéarité entre 3 vecteurs : cette notion n'a pas de sens ; c'est la coplanarité qu'il faut utiliser.
4. Oublier de tester avec 3 valeurs de $\lambda$ dans la colinéarité : bien vérifier que le même $\lambda$ fonctionne pour les 3 coordonnées.
5. Erreur sur les coordonnées nulles : si $x_u = 0$, il faut $x_v = 0$ également pour colinéarité, mais $\lambda$ se calcule avec les autres coordonnées.
6. Confondre « droites parallèles » et « droites non coplanaires » : les deux ne se coupent pas, mais les vecteurs directeurs sont colinéaires seulement dans le premier cas.
7. Chercher l'intersection de deux droites non coplanaires : n'existe pas (elles ne se coupent pas).
8. Confondre point et vecteur : un point $A$ ne s'écrit pas comme combinaison linéaire de vecteurs — c'est $\overrightarrow{OA}$ qui l'est.
9. Oublier de vérifier que les vecteurs directeurs sont non nuls : un vecteur directeur d'une droite ne peut pas être $\vec{0}$.
10. Confondre « alignés » et « coplanaires » : 3 points sont toujours coplanaires (ils définissent un plan) ; c'est l'alignement qui est plus restrictif.

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6. Formulaire à retenir

Objet	Formule
Coordonnées $\overrightarrow{AB}$	$(x_B - x_A\,;y_B - y_A\,;z_B - z_A)$
Somme, produit	$\vec{u} + \vec{v}$, $\lambda\,\vec{u}$ (composante par composante)
Norme	$\|\vec{u}\| = \sqrt{x_u^2 + y_u^2 + z_u^2}$
Distance $AB$	$\|\overrightarrow{AB}\|$
Colinéarité	$\vec{v} = \lambda\,\vec{u}$ (coordonnées proportionnelles)
Coplanarité (3 vec.)	$\vec{w} = \alpha\,\vec{u} + \beta\,\vec{v}$
Alignement (3 points)	$\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ colinéaires
Coplanarité (4 points)	$\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}$ coplanaires
Milieu $I$ de $[AB]$	$((x_A + x_B)/2\,;(y_A+y_B)/2\,;(z_A+z_B)/2)$
Centre gravité $G$ de $[ABC]$	moyennes des coordonnées

Rédaction : toujours annoncer explicitement la relation testée (« montrons que $\vec{v} = \lambda\,\vec{u}$ ») avant le calcul.

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7. Annales à consulter sur vecteurmaths.fr

Coplanarité de vecteurs / points (M4) :

• Métropole — 2022 J1 ex. 2 · 2022 J2 ex. 3 · 2024 J1 ex. 1 · 2024 J2 ex. 1 · 2024 J2 ex. 2
• Polynésie — 2023 J1 ex. 4 · 2024 J2 ex. 4
• Amérique du Nord — 2023 J2 ex. 3 · 2024 J1 ex. 2 · 2024 J2 ex. 2

Combinaison linéaire (M5) :

• Métropole — 2022 J1 ex. 2 · 2022 J2 ex. 3
• Polynésie — 2023 J1 ex. 2 · 2023 J2 ex. 2
• Amérique du Sud — 2024 J1 ex. 4

Position relative de deux droites (M7) :

• Métropole — 2022 J1 ex. 2 · 2022 J2 ex. 3
• Polynésie — 2023 J1 ex. 2 · 2023 J1 ex. 4 · 2023 J2 ex. 2 · 2024 J1 ex. 4 · 2024 J2 ex. 4

Base non canonique et coordonnées dans une nouvelle base :

• Métropole — 2023 J1 ex. 2 · 2023 J2 ex. 4
• Polynésie — 2024 J1 ex. 4